Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 64 стр.

   Теорема 5.4. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1], h ∈ C([−1, 1]2 );
   2) уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь нулевое решение.
   Тогда СЛАУ (5.19) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех нату-
ральных n, начиная с некоторого. Приближенные решения x∗n (t), построенные по
формуле (5.20) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся равномерно к точному решению x∗ (t)
уравнения (5.1) со скоростью

                  x∗ − x∗n ∞ = O{ω(y; 1/n)∞ + ωt (h; 1/n)∞ + ωs (h)∞ }.     (5.21)


   Следствие. Пусть функции y и h (по каждой из переменных равномерно отно-
сительно другой) принадлежат классу Hγ , где 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности
приближенных решений верна порядковая оценка

                            x∗ − x∗n ∞ = O(n−γ ), 0 < γ ≤ 1.

   Доказательство. В пространстве X = Y = M [−1, 1] уравнение (5.1) запишем в
виде операторного уравнения (5.7), где
                                              +1
                          (Hx)(t) ≡ (Hhx)(t) = h(t, s)x(s) ds,
                                                  −1

а оператор K, в условиях теоремы 5.4, в пространстве X имеет ограниченный обрат-
ный K −1 .
   Теперь запишем систему (5.19) в операторной форме. Для этого в пространстве
X введем подпространства Xn = Yn функций вида (5.3), и пусть Sn0 : X −→ Xn
есть оператор сплайн–интерполирования нулевого порядка. Тогда СЛАУ (5.19) будет
эквивалентна операторному уравнению

                      Kn xn ≡ xn + Pn HPns (hxn ) = Pn y      (xn ∈ Xn ),     (5.22)

где Pn = Sn0 .
   Поэтому достаточно показать однозначную разрешимость уравнения (5.22). С
этой целью возьмем произвольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn −
Kn xn . С учетом неравенства Гельдера имеем

                        Kxn − Kn xn  = Hxn − Pn HPns (hxn ) ≤

                 ≤ Hxn − Pn Hxn  + Pn Hxn − Pn HPns (hxn ) ≡ I1 + I2 .    (5.23)

   Первое слагаемое в (5.23) оценивается так же, как и в методе коллокации:

                       I1 = H[
                               h − PnT h]xn ∞ ≤ ωt (h; 2/n)∞ xn X .        (5.24)

Для оценки второго слагаемого I2 воспользуемся тем фактом, что

                                 HPns (hxn ) = H(Pns h)xn .

                                             64