Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 58 стр.

где ω(z; δ) есть обычный модуль непрерывности функции z с шагом δ. Поэтому из
(4.19) получим неравенство
                                        √
                     Kxn − Kn xn X ≤ 2 πω(Hxn ; π/(n + 1)) ≤

    √                                                t+η√                            
                                                                                 2
 ≤ 2 π ωt (h; π/(n + 1))∞;2,1/ρ +         sup                  1−   s2   |h(t, s)| ds        · xn 2,ρ . (4.20)
                                        −1≤t≤1−η
                                       0<η≤π/(n+1)    t

Так как, по условию теоремы 4.5, функция h ∈ C × L2,1/ρ , то величина

                                 t+η√                  
                                                      2
                      sup              1 − s |h(t, s)| ds → 0, n → ∞.
                                            2
                   −1≤t≤1−η
                  0<η≤π/(n+1)    t


Поэтому из последнего предельного соотношения и неравенства (4.20) вытекает, что

                         εn ≡ K − Kn Xn →X → 0, n → ∞.

Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (4.18) и эквивалентная ему СЛАУ (3.17),
(4.13) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1  <
1. Более того, из той же леммы 1 следует, что операторы Kn−1 ограничены по норме
в совокупности.
   Далее, для правых частей уравнений (4.17) и (4.18) имеем
                                        √
                  δn ≡ y − Pn y2,ρ ≤ 2 π En (y)∞ → 0, n → ∞,

что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X.
   Для доказательства оценки (4.14) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учиты-
вая лемму 12, получим
                                                             
     x − xn 2,ρ ≤ 1 + Kn Xn →Xn · Pn C→L2,ρ · HL2,ρ →C x∗ − Pn x∗ 2,ρ =
       ∗   ∗              −1



                         = O(x∗ − Pn x∗ 2,ρ ) = O(En (x∗ )∞ ),
что и доказывает утверждение теоремы 4.5.
                            §5. Сплайн–методы решения
                              интегральных уравнений

   В этом параграфе вкратце рассмотрим вопросы обоснования сплайновых прямых
методов решения интегральных уравнений второго рода. Для определенности рас-
смотрим интегральное уравнение Фредгольма на стандартном промежутке [−1, 1]:

                              +1)
                  Kx ≡ x(t) +     h(t, s)x(s) ds = y(t), −1 ≤ t ≤ 1,                                      (5.1)
                                  −1


где h(t, s) и y(t) – известные, а x(t) – искомая функции.

                                                58