Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где P
n
– оператор Фурье n–го порядка по системе многочленов Чебышева первого
рода.
Поскольку близость правых частей очевидна (см. также § 3), остается показать
близость операторов K и K
n
на подпространстве X
n
. Обозначив через
h функцию,
определенную по формуле
h(t, s)=
h(t, s), если s ≤ t,
0, если s>t,
имеем для любого x
n
∈ X
n
Kx
n
− K
n
x
n
2
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
2
X
=
+1
−1
ρ(t)
+1
−1
[
h(t, s) − P
T
n
h(t, s)]x
n
(s) ds
2
dt ≤
≤
+1
−1
ρ(t)
+1
−1
1
ρ(s)
|
h(t, s) − P
T
n
h(t, s)|
2
ds ·
+1
−1
ρ(s)|x
n
(s)|
2
ds dt ≤
≤x
n
2,ρ
h − P
T
n
h
2;ρ,1/ρ
= E
T
n
(
h)
2;ρ,1/ρ
·x
n
X
≤ E
T
n
(h)
2;ρ,1/ρ
·x
n
X
.
Последнее означает, что
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ E
T
n
(h)
2;ρ,1/ρ
→ 0,n→∞.
А тогда из леммы 1 вытекает утверждение теоремы 4.1. Теорема 4.2 следует из
свойств оператора Фурье (см. леммы 9 и 10).
Теоремы 4.3 и 4.4 доказываются аналогично, так как оператор метода подобла-
стей, согласно леммы 14, обладает такими же свойствами, что и оператор Фурье в
методе Галеркина.
Теоремы 4.5–4.8 могут быть доказаны так же, как и соответствующие теоремы
для случая уравнения Фредгольма (см. § 3). Однако следует отметить, что в ме-
тоде коллокации (точнее, во всех проекционных методах) оператор проектирования
на подпространство основного пространства не может быть введен под знак инте-
грального оператора, как это имело место в случае уравнения Фредгольма. Отсюда
следуют и различия в доказательствах. Поэтому остановимся здесь лишь на доказа-
тельстве теоремы 4.5.
Покажем, что, в условиях теоремы 4.5, операторы K и K
n
уравнений (4.17) и
(4.18) близки на подпространстве X
n
. С этой целью возьмем произвольный элемент
x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
− K
n
x
n
. С учетом леммы 12 и неравенства
Коши–Буняковского имеем
Kx
n
− K
n
x
n
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
≤2
√
πE
n
(Hx
n
)
∞
. (4.19)
По теореме Джексона–Корнейчука (см., напр., в [28]) в пространстве C[−1, 1] для
наилучших равномерных приближений справедливо неравенство
E
n
(z)
∞
≤ ω(z; π/(n +1)),z∈ C[−1, 1],
57
где Pn – оператор Фурье n–го порядка по системе многочленов Чебышева первого
рода.
   Поскольку близость правых частей очевидна (см. также § 3), остается показать
близость операторов K и Kn на подпространстве Xn . Обозначив через h функцию,
определенную по формуле
                                 
                                  h(t, s), если s ≤ t,
                       h(t, s) =
                                   0, если s > t,

имеем для любого xn ∈ Xn
                                       +1  +1                                2
 Kxn − Kn xn 2X = Hxn − Pn Hxn 2X = ρ(t) [ h(t, s) − PnT 
                                                              h(t, s)]xn (s) ds dt ≤
                                               −1      −1

             +1   +1                                 +1
                        1              T
            ≤ ρ(t)          |h(t, s) − Pn h(t, s)| ds · ρ(s)|xn (s)|2 ds dt ≤
                                                  2
                       ρ(s)
              −1      −1                                    −1

                   h − PnT 
       ≤ xn 2,ρ        h2;ρ,1/ρ = EnT (
                                            h)2;ρ,1/ρ · xn X ≤ EnT (h)2;ρ,1/ρ · xn X .
Последнее означает, что

                   εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ EnT (h)2;ρ,1/ρ → 0, n → ∞.

   А тогда из леммы 1 вытекает утверждение теоремы 4.1. Теорема 4.2 следует из
свойств оператора Фурье (см. леммы 9 и 10).
   Теоремы 4.3 и 4.4 доказываются аналогично, так как оператор метода подобла-
стей, согласно леммы 14, обладает такими же свойствами, что и оператор Фурье в
методе Галеркина.
   Теоремы 4.5–4.8 могут быть доказаны так же, как и соответствующие теоремы
для случая уравнения Фредгольма (см. § 3). Однако следует отметить, что в ме-
тоде коллокации (точнее, во всех проекционных методах) оператор проектирования
на подпространство основного пространства не может быть введен под знак инте-
грального оператора, как это имело место в случае уравнения Фредгольма. Отсюда
следуют и различия в доказательствах. Поэтому остановимся здесь лишь на доказа-
тельстве теоремы 4.5.
    Покажем, что, в условиях теоремы 4.5, операторы K и Kn уравнений (4.17) и
(4.18) близки на подпространстве Xn . С этой целью возьмем произвольный элемент
xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . С учетом леммы 12 и неравенства
Коши–Буняковского имеем
                                                     √
               Kxn − Kn xn X = Hxn − Pn Hxn  ≤ 2 π En (Hxn )∞ .       (4.19)

По теореме Джексона–Корнейчука (см., напр., в [28]) в пространстве C[−1, 1] для
наилучших равномерных приближений справедливо неравенство

                        En (z)∞ ≤ ω(z; π/(n + 1)), z ∈ C[−1, 1],

                                               57

Страницы