Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

по формуле (4.2) при c
k
= c
∗
k
,k= 0,n, сходятся к точному решению x
∗
(t) уравнения
(4.1) в пространстве L
2,ρ
со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(x
∗
)
2,ρ
}. (4.10)
Следствие. Для погрешности приближенных решений в пространстве L
2,ρ
имеет
место соотношение
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
2,ρ
+ E
n
(Hx
∗
)
2,ρ
};(4.10
)
в частности, если функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2,ρ
,гдеr ≥ 0 – целое,
0 <γ≤ 1, то для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1];
2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный оператор
H : L
2,ρ
−→ L
2,ρ
вполне непрерывен, а H : L
2,ρ
−→ C ограничен, где ρ(t)=
√
1 − t
2
;
3) точки t
j
заданы формулой (3.19).
Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n
0
, СЛАУ (3.17),
(4.9) имеет единственное решение {c
∗
k
}. Для погрешности приближенных решений
в пространстве C[−1, 1] справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ ln nE
n
(x
∗
)
∞
}. (4.11)
Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x
∗
(t) со скоростью (4.11). В частности, если y и h таковы, что решение
x
∗
∈ W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, скорость равномерной сходимости прибли-
женных решений к точному определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
4.3. Метод коллокации. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n +1 точек
t
k
,k = 0,n. Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в виде многочлена
(4.2), а неизвестные коэффициенты {c
k
} определим из условий
[Kx
n
− y](t
j
)=0,j= 0,n. (4.12)
Условия (4.12) дают СЛАУ (n +1)–го порядка вида (3.17), где
α
kj
= K(t
k
; t
j
),y
j
= y(t
j
). (4.13)
Для вычислительной схемы метода коллокации (4.1), (4.2), (3.17), (4.13) имеет
место
55
по формуле (4.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению x∗ (t) уравнения
(4.1) в пространстве L2,ρ со скоростью

                             x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (x∗ )2,ρ }.                 (4.10)


   Следствие. Для погрешности приближенных решений в пространстве L2,ρ имеет
место соотношение

                      x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)2,ρ + En (Hx∗ )2,ρ };          (4.10 )

в частности, если функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r H2,ρ
                                                              γ
                                                                  , где r ≥ 0 – целое,
0 < γ ≤ 1, то для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

                      x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.


   Теорема 4.4. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
  2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный оператор      √
H : L2,ρ −→ L2,ρ вполне непрерывен, а H : L2,ρ −→ C ограничен, где ρ(t) = 1 − t2 ;
   3) точки tj заданы формулой (3.19).
    Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n0 , СЛАУ (3.17),
(4.9) имеет единственное решение {c∗k }. Для погрешности приближенных решений
в пространстве C[−1, 1] справедлива следующая порядковая оценка

                            x∗ − x∗n ∞ = O{ln nEn (x∗ )∞ }.                   (4.11)

   Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x∗ (t) со скоростью (4.11). В частности, если y и h таковы, что решение
x∗ ∈ W r Hγ , где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость равномерной сходимости прибли-
женных решений к точному определяется формулой
                                         ln n 
                        x∗ − x∗n ∞ = O r+γ , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                         n

     4.3. Метод коллокации. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n + 1 точек
tk , k = 0, n. Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в виде многочлена
(4.2), а неизвестные коэффициенты {ck } определим из условий

                              [Kxn − y](tj ) = 0, j = 0, n.                     (4.12)

Условия (4.12) дают СЛАУ (n + 1)–го порядка вида (3.17), где

                               αkj = K(tk ; tj ), yj = y(tj ).                  (4.13)

   Для вычислительной схемы метода коллокации (4.1), (4.2), (3.17), (4.13) имеет
место

                                             55

Страницы