Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1];
2) функция h(t, s) ∈ C × L
2,1/ρ
.
Тогда для погрешности приближенных решений в равномерной метрике спра-
ведлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
n
(x
∗
)
∞
}. (4.6)
Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x
∗
(t) со скоростью (4.6).
Если же функции y(t) и h(t, s) таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 – целое,
0 <γ≤ 1, то скорость равномерной сходимости приближенных решений к точному
определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1. (4.7)
4.2. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n +2 точек
t
k
,k = 0,n+1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение урав-
нения (4.1) будем искать снова в виде многочлена (4.2), а его неизвестные коэффи-
циенты определим из условий
t
j+1
t
j
ρ(t)[Kx
n
(t) − y(t)] dt =0,j= 0,n. (4.8)
Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {c
k
} представляют СЛАУ вида
(3.17), где
α
kj
=
t
j+1
t
j
ρ(t)K(t
k
)) dt, y
j
=
t
j+1
t
j
ρ(t)y(t) dt. (4.9)
Для вычислительной схемы метода подобластей (4.1), (4.2), (3.17), (4.9) имеют
место следующие результаты.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2,ρ
,ρ(t)=
√
1 − t
2
;
2) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L
2,ρ
;
3) точки {t
j
} определены формулой (3.19).
Тогда СЛАУ (3.17), (4.9) имеет единственное решение {c
∗
k
}, хотя бы при всех
достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(t), построенные
54
   Теорема 4.2. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
   2) функция h(t, s) ∈ C × L2,1/ρ .
   Тогда для погрешности приближенных решений в равномерной метрике спра-
ведлива следующая порядковая оценка

                              x∗ − x∗n ∞ = O{ln n En (x∗ )∞ }.                 (4.6)


   Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x∗ (t) со скоростью (4.6).
   Если же функции y(t) и h(t, s) таковы, что решение x∗ ∈ W r Hγ , где r ≥ 0 – целое,
0 < γ ≤ 1, то скорость равномерной сходимости приближенных решений к точному
определяется формулой
                                          ln n 
                      x∗ − x∗n ∞ = O            , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.            (4.7)
                                           nr+γ

     4.2. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n + 2 точек
tk , k = 0, n + 1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение урав-
нения (4.1) будем искать снова в виде многочлена (4.2), а его неизвестные коэффи-
циенты определим из условий

                         
                         tj+1

                             ρ(t)[Kxn (t) − y(t)] dt = 0, j = 0, n.              (4.8)
                         tj


Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {ck } представляют СЛАУ вида
(3.17), где
                          tj+1                     
                                                    tj+1

                    αkj =      ρ(t)K(tk )) dt, yj =     ρ(t)y(t) dt.     (4.9)
                              tj                       tj


   Для вычислительной схемы метода подобластей (4.1), (4.2), (3.17), (4.9) имеют
место следующие результаты.

   Теорема 4.3. Пусть выполнены условия:
                       √
   1) y ∈ L2,ρ , ρ(t) = 1 − t2 ;
   2) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L2,ρ ;
   3) точки {tj } определены формулой (3.19).
   Тогда СЛАУ (3.17), (4.9) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех
достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), построенные



                                             54

Страницы