Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в
виде алгебраического многочлена степени n, n ∈ N,
x
n
(t)=
n
k=0
c
k
t
k
, (4.2)
а его неизвестные коэффициенты определим из условий
+1
−1
ρ(t)[Kx
n
(t) − y(t)] t
j
dt =0,j= 0,n,
где ρ(t) – весовая на [−1, 1] функция. Эти условия дают СЛАУ (n +1)–го порядка
относительно n +1коэффициентов c
k
полинома (4.2):
n
k=0
α
kj
c
k
= y
j
,j= 0,n, (4.3)
где
α
kj
=
+1
−1
ρ(t)K(t
k
)t
j
dt, y
j
=
+1
−1
ρ(t)y(t)t
j
dt. (4.4)
Для вычислительной схемы метода Галеркина (4.1)–(4.4) имеют место следующие
результаты.
Теорема 4.1. Пусть выполнены предположения:
1) ρ(t)=1/
√
1 − t
2
или ρ(t)=
√
1 − t
2
;
2) y ∈ L
2,ρ
(−1, 1);
3) ядро h(t, s) удовлетворяет условию
+1
−1
ρ(t)
T
−1
1
ρ(s)
|h(t, s)|
2
ds < ∞.
Тогда СЛАУ (4.3)–(4.4) имеет единственное решение {c
∗
k
}, хотя бы при всех n,
начиная с некоторого натурального n
0
. Приближенные решения x
∗
n
(t), построенные
по формуле (4.2) при c
k
= c
∗
k
,k= 0,n, сходятся к точному решению x
∗
(t) уравнения
(4.1) в пространстве L
2,ρ
(−1, 1) со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(E
n
(x
∗
)
2,ρ
), (4.5)
где E
n
(z)
2,ρ
– наилучшее среднеквадратическое приближение функции z ∈ L
2,ρ
(−1, 1)
алгебраическими многочленами степени не выше n.
Следствие. Пусть функция y(t) и ядро h(t, s) таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2,ρ
,
где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1. Тогда приближенные решения сходятся к точному
решению в среднем со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1. (4.5
)
53
   3.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в
виде алгебраического многочлена степени n, n ∈ N,
                                                           
                                                           n
                                                xn (t) =         ck tk ,        (4.2)
                                                           k=0

а его неизвестные коэффициенты определим из условий
                               +1
                                  ρ(t)[Kxn (t) − y(t)] tj dt = 0, j = 0, n,
                              −1

где ρ(t) – весовая на [−1, 1] функция. Эти условия дают СЛАУ (n + 1)–го порядка
относительно n + 1 коэффициентов ck полинома (4.2):
                                          
                                          n
                                                αkj ck = yj , j = 0, n,         (4.3)
                                          k=0

где
                                    +1                   +1
                             αkj   = ρ(t)K(tk )tj dt, yj = ρ(t)y(t)tj dt.       (4.4)
                                    −1                               −1

   Для вычислительной схемы метода Галеркина (4.1)–(4.4) имеют место следующие
результаты.

      Теорема 4.1. Пусть выполнены предположения:
                  √                 √
      1) ρ(t) = 1/ 1 − t2 или ρ(t) = 1 − t2 ;
      2) y ∈ L2,ρ (−1, 1);
      3) ядро h(t, s) удовлетворяет условию
                                     +1     T
                                                    1
                                        ρ(t)            |h(t, s)|2 ds < ∞.
                                                   ρ(s)
                                     −1     −1


    Тогда СЛАУ (4.3)–(4.4) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех n,
начиная с некоторого натурального n0 . Приближенные решения x∗n (t), построенные
по формуле (4.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению x∗ (t) уравнения
(4.1) в пространстве L2,ρ (−1, 1) со скоростью

                                      x∗ − x∗n L2,ρ = O(En (x∗ )2,ρ ),        (4.5)

где En (z)2,ρ – наилучшее среднеквадратическое приближение функции z ∈ L2,ρ (−1, 1)
алгебраическими многочленами степени не выше n.

   Следствие. Пусть функция y(t) и ядро h(t, s) таковы, что решение x∗ ∈ W r H2,ρ
                                                                              γ
                                                                                  ,
где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1. Тогда приближенные решения сходятся к точному
решению в среднем со скоростью

                             x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.    (4.5 )

                                                        53

Страницы