Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
√
π H(
h −P
s
n
h)x
n
∞
≤
√
π
h −P
s
n
h
∞;2,1/ρ
·x
n
2,ρ
≤ 2
√
πE
s
n
(
h)
∞
·x
n
X
. (3.39)
Из (3.37)–(3.39) находим
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ 2
√
π {E
T
n
(h)
∞
+ E
s
n
(
h)
∞
}→0,n→∞,
что влечет за собой однозначную разрешимость уравнения (3.36), хотя бы для доста-
точно больших n, а следовательно, и СЛАУ (3.33), при этом K
−1
n
X
n
→X
n
= O(1),n→
∞. Остается заметить, что
δ
n
≡y − P
n
y
2,ρ
≤ 2
√
πE
n
(y)
∞
→ 0,n→∞,
чтобы получить утверждение теоремы и ее следствия.
Теорема 3.12. В условиях теоремы 3.11 приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся
к точному решению x
∗
(t) в узлах (3.31) со скоростью:
max
0≤k≤n
|x
∗
(t
k
) − c
∗
k
| = O{E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
+ E
s
n
(
h)
∞
}.
В самом деле, из уравнений (3.6) и (3.36) следует, что
|x
∗
(t
k
) − c
∗
k
| = |x
∗
(t
k
) − x
∗
n
(t
k
)| = |(H
hx
∗
)(t
k
) − (HP
s
n
(
hx
∗
n
))(t
k
)|≤
≤|[H(
h − P
s
n
h)x
∗
](t
k
)| + |[H(P
s
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)](t
k
)|≤
≤H(
h − P
s
n
h)x
∗
∞
+ H(P
s
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)
∞
≤
≤
√
π
h − P
s
n
h
∞;2,1/ρ
·x
∗
2,ρ
+ P
s
n
h
∞;2,1/ρ
·x
∗
− x
∗
n
)
2,ρ
≤
≤ 2
√
πE
s
n
(
h)
∞
x
∗
2,ρ
+
√
π h
∞
·x
∗
− x
∗
n
2,ρ
.
Остается теперь воспользоваться утверждением теоремы 3.11, чтобы получить тре-
буемую оценку.
Теорема 3.13. В условиях теоремы 3.11 для погрешности приближенных ре-
шений в пространстве C[−1, 1] верна оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n [E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
+ E
s
n
(
h)
∞
]}. (3.40)
Теорема 3.14. Пусть, в условиях теоремы 3.11, функции y(t) и
h(t, s) (по каж-
дой из переменных равномерно относительно другой) удовлетворяют условию Дини–
Липшица.
Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) равномерно сходятся к точному решению
x
∗
(t) со скоростью (3.40).
Заметим, что утверждение теоремы 3.14 непосредственно вытекает из теоремы
3.13. Поэтому докажем теорему 3.13. Имеем
x
∗
− x
∗
n
∞
≤x
∗
− P
n
x
∗
∞
+ P
n
x
∗
− x
∗
n
∞
≡ I
1
+ I
2
. (3.41)
51
     √                              √                                     √
 =            h − Pns
         π H(      h)xn ∞ ≤             h − Pns
                                        π       h∞;2,1/ρ · xn 2,ρ ≤ 2 π Ens (
                                                                                  h)∞ · xn X . (3.39)
Из (3.37)–(3.39) находим
                                      √
               εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ 2 π {EnT (h)∞ + Ens (
                                                          h)∞ } → 0, n → ∞,

что влечет за собой однозначную разрешимость уравнения (3.36), хотя бы для доста-
точно больших n, а следовательно, и СЛАУ (3.33), при этом Kn−1 Xn →Xn = O(1), n →
∞. Остается заметить, что
                                         √
                   δn ≡ y − Pn y2,ρ ≤ 2 π En (y)∞ → 0, n → ∞,

чтобы получить утверждение теоремы и ее следствия.

   Теорема 3.12. В условиях теоремы 3.11 приближенные решения x∗n (t) сходятся
к точному решению x∗ (t) в узлах (3.31) со скоростью:

                       max |x∗ (tk ) − c∗k | = O{En (y)∞ + EnT (h)∞ + Ens (
                                                                           h)∞ }.
                       0≤k≤n



     В самом деле, из уравнений (3.6) и (3.36) следует, что

             |x∗ (tk ) − c∗k | = |x∗ (tk ) − x∗n (tk )| = |(H 
                                                              hx∗ )(tk ) − (HPns (
                                                                                  hx∗n ))(tk )| ≤

                              h − Pns
                        ≤ |[H(      h)x∗ ](tk )| + |[H(Pns
                                                           h)(x∗ − x∗n )](tk )| ≤
                                h − Pns
                           ≤ H(      h)x∗ ∞ + H(Pns
                                                       h)(x∗ − x∗n )∞ ≤
                   √
               ≤       π 
                          h − Pns
                                 h∞;2,1/ρ · x∗ 2,ρ + Pns
                                                            h∞;2,1/ρ · x∗ − x∗n )2,ρ ≤
                             √                        √
                          ≤ 2 π Ens (
                                     h)∞ x∗ 2,ρ + π h∞ · x∗ − x∗n 2,ρ .
Остается теперь воспользоваться утверждением теоремы 3.11, чтобы получить тре-
буемую оценку.

  Теорема 3.13. В условиях теоремы 3.11 для погрешности приближенных ре-
шений в пространстве C[−1, 1] верна оценка

                       x∗ − x∗n ∞ = O{ln n [En (y)∞ + EnT (h)∞ + Ens (
                                                                        h)∞ ]}.                     (3.40)


   Теорема 3.14. Пусть, в условиях теоремы 3.11, функции y(t) и 
                                                                h(t, s) (по каж-
дой из переменных равномерно относительно другой) удовлетворяют условию Дини–
Липшица.
   Тогда приближенные решения x∗n (t) равномерно сходятся к точному решению
 ∗
x (t) со скоростью (3.40).

   Заметим, что утверждение теоремы 3.14 непосредственно вытекает из теоремы
3.13. Поэтому докажем теорему 3.13. Имеем

                    x∗ − x∗n ∞ ≤ x∗ − Pn x∗ ∞ + Pn x∗ − x∗n ∞ ≡ I1 + I2 .                     (3.41)

                                                     51

Страницы