ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
алгебраического интерполирования по узлам (3.31). Поскольку квадратурная фор-
мула (3.32) по узлам (3.31) является интерполяционной (см., напр., в [7, 40]), то
+1
−1
L
s
n
(
h(t, s)x(s))
√
1 − s
2
ds =
π
n +1
n
k=0
h(t, t
k
)x(t
k
)=
π
n +1
n
k=0
h(t, t
k
)
1 − t
2
k
x(t
k
),
где L
s
n
означает применение оператора L
n
по переменной s. Поэтому имеют место
равенства
x
n
(t
j
)+
+1
−1
L
s
n
(
h(t
j
,s)x(s)) ds = y(t
j
),x
n
(t
j
)=c
j
,j= 0,n.
Отсюда следует, что
P
n
x
n
+
+1
−1
P
s
n
(
h(t, s)x
n
(s))
√
1 − s
2
ds
= P
n
y,
где P
n
= L
n
. Учитывая проекционность оператора P
n
, окончательно получим
K
n
x
n
≡ x
n
+ P
n
HP
s
n
(
hx
n
)=P
n
y (x
n
∈ X
n
). (3.36)
Таким образом, мы показали эквивалентность СЛАУ (3.33) операторному урав-
нению (3.36).
Покажем однозначную разрешимость уравнения (3.36). С этой целью возьмем
произвольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
−K
n
x
n
. С учетом нера-
венства Коши–Буняковского имеем
Kx
n
− K
n
x
n
= Hx
n
− P
n
HP
s
n
(
hx
n
)≤
≤Hx
n
− P
n
Hx
n
+ P
n
Hx
n
− P
n
HP
s
n
(
hx
n
)≡I
1
+ I
2
. (3.37)
Первое слагаемое в (3.37) оценивается так же, как и в методе коллокации:
I
1
= H[
h − P
T
n
h]x
n
2,ρ
≤ 2
√
πE
T
n
(
h)
∞
x
n
X
≤ 2
√
πE
T
n
(h)
∞
x
n
X
. (3.38)
Для оценки второго слагаемого I
2
воспользуемся тем фактом, что квадратурная фор-
мула Эрмита (3.32) является формулой наивысшей алгебраической степени точности
(см., напр., в [7, 29]). Следовательно, она точна для любого алгебраического много-
члена степени не выше 2n +1. Учитывая, что функция P
s
n
(
h)x
n
(s) по переменной s
является алгебраическим многочленом степени 2n, мы заключаем, что
HP
s
n
(
hx
n
)=H(P
s
n
h)x
n
.
Поэтому для I
2
последовательно находим
I
2
= P
n
Hx
n
− P
n
HP
s
n
(
hx
n
)
2,ρ
≤
√
π Hx
n
− HP
s
n
(
hx
n
)
∞
=
50
алгебраического интерполирования по узлам (3.31). Поскольку квадратурная фор-
мула (3.32) по узлам (3.31) является интерполяционной (см., напр., в [7, 40]), то
+1
Lsn ( π π
n n
h(t, s)x(s))
√ ds = h(t, tk )x(tk ) = h(t, tk ) 1 − t2k x(tk ),
1 − s2 n + 1 k=0 n + 1 k=0
−1
где Lsn означает применение оператора Ln по переменной s. Поэтому имеют место
равенства
+1
xn (tj ) + Lsn (
h(tj , s)x(s)) ds = y(tj ), xn (tj ) = cj , j = 0, n.
−1
Отсюда следует, что
+1
h(t, s)xn (s))
Pns (
Pn xn + √ ds = Pn y,
1 − s2
−1
где Pn = Ln . Учитывая проекционность оператора Pn , окончательно получим
Kn xn ≡ xn + Pn HPns (
hxn ) = Pn y (xn ∈ Xn ). (3.36)
Таким образом, мы показали эквивалентность СЛАУ (3.33) операторному урав-
нению (3.36).
Покажем однозначную разрешимость уравнения (3.36). С этой целью возьмем
произвольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . С учетом нера-
венства Коши–Буняковского имеем
Kxn − Kn xn = Hxn − Pn HPns (
hxn ) ≤
≤ Hxn − Pn Hxn + Pn Hxn − Pn HPns (
hxn ) ≡ I1 + I2 . (3.37)
Первое слагаемое в (3.37) оценивается так же, как и в методе коллокации:
√ √
I1 = H[ h]xn 2,ρ ≤ 2 π EnT (
h − PnT h)∞ xn X ≤ 2 π EnT (h)∞ xn X . (3.38)
Для оценки второго слагаемого I2 воспользуемся тем фактом, что квадратурная фор-
мула Эрмита (3.32) является формулой наивысшей алгебраической степени точности
(см., напр., в [7, 29]). Следовательно, она точна для любого алгебраического много-
члена степени не выше 2n + 1. Учитывая, что функция Pns ( h)xn (s) по переменной s
является алгебраическим многочленом степени 2n, мы заключаем, что
HPns (
hxn ) = H(Pns
h)xn .
Поэтому для I2 последовательно находим
√
I2 = Pn Hxn − Pn HPns (
hxn )2,ρ ≤ π Hxn − HPns (
hxn )∞ =
50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
