Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Запишем тождества для решений уравнений (3.6) и (3.7):
x
∗
(t
k
)+
+1
−1
h(t
k
,s)x
∗
(s) ds = y(t
k
),
x
∗
n
(t
k
)+
+1
−1
h(t
k
,s)x
∗
n
(s) ds = y(t
k
),
где t
k
– один из узлов (3.24). Из этих соотношений вытекает, что
|x
∗
(t
k
) − x
∗
n
(t
k
)|≤
+1
−1
|h(t
k
,s)||x
∗
(s) − x
∗
n
(s)|ds ≤
≤h(t
k
, ·)
2,1/ρ
·x
∗
− x
∗
n
2,ρ
≤h
∞;2,1/ρ
·x
∗
− x
∗
n
2,ρ
,
что и доказывает справедливость утверждения теоремы.
Замечание. Из теоремы 3.8 можно получить скорость сходимости приближен-
ных решений к точному в узлах коллокации, если решение обладает определенными
гладкостными свойствами.
Теорема 3.9. В условиях теоремы 3.7 для погрешности приближенных решений
к точному в пространстве C[−1, 1] справедливы следующие порядковые соотноше-
ния:
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
n
(x
∗
)
∞
}, (3.29)
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n [E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞;2,1/ρ
]}. (3.30)
Доказательство теоремы 3.9 может быть проведено аналогично доказательству
теоремы 3.2, так как соответствующие операторы Фурье и Лагранжа в пространстве
C[−1, 1] обладают одинаковыми свойствами (сравни леммы 10 и 12).
Теорема 3.10. Пусть, в условиях теоремы 3.7, функции y(t) и h(t, s) (по пере-
менной t) удовлетворяют условию Дини–Липшица.
Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) равномерно сходятся к точному решению
x
∗
(t), при этом скорость сходимости определяется любым из порядковых соотно-
шений (3.29) и (3.30).
Теорема 3.10 с учетом леммы 12 непосредственно вытекает из теоремы 3.9.
3.5. Метод механических квадратур. Возьмем на сегменте [−1, 1] систему узлов
Чебышева I–рода
t
k
=cos
(2k +1)π
2n +2
,k=
0,n, (3.31)
и рассмотрим квадратурную формулу Эрмита
+1
−1
z(s)
√
1 − s
2
ds ≈
π
n +1
n
k=0
z(t
k
),z∈ C[−1, 1]. (3.32)
48
     Доказательство. Запишем тождества для решений уравнений (3.6) и (3.7):
                                       +1
                              x (tk ) + h(tk , s)x∗ (s) ds = y(tk ),
                                ∗

                                             −1

                                           +1
                              x∗n (tk )   + h(tk , s)x∗n (s) ds = y(tk ),
                                             −1

где tk – один из узлов (3.24). Из этих соотношений вытекает, что
                                              +1
                      ∗
                   |x (tk ) −   x∗n (tk )|   ≤ |h(tk , s)| |x∗ (s) − x∗n (s)| ds ≤
                                                  −1

                ≤ h(tk , ·)2,1/ρ · x∗ − x∗n 2,ρ ≤ h∞;2,1/ρ · x∗ − x∗n 2,ρ ,
что и доказывает справедливость утверждения теоремы.

   Замечание. Из теоремы 3.8 можно получить скорость сходимости приближен-
ных решений к точному в узлах коллокации, если решение обладает определенными
гладкостными свойствами.

   Теорема 3.9. В условиях теоремы 3.7 для погрешности приближенных решений
к точному в пространстве C[−1, 1] справедливы следующие порядковые соотноше-
ния:
                        x∗ − x∗n ∞ = O{ln n En (x∗ )∞ },             (3.29)
                     x∗ − x∗n ∞ = O{ln n [En (y)∞ + EnT (h)∞;2,1/ρ ]}.              (3.30)

   Доказательство теоремы 3.9 может быть проведено аналогично доказательству
теоремы 3.2, так как соответствующие операторы Фурье и Лагранжа в пространстве
C[−1, 1] обладают одинаковыми свойствами (сравни леммы 10 и 12).

   Теорема 3.10. Пусть, в условиях теоремы 3.7, функции y(t) и h(t, s) (по пере-
менной t) удовлетворяют условию Дини–Липшица.
   Тогда приближенные решения x∗n (t) равномерно сходятся к точному решению
 ∗
x (t), при этом скорость сходимости определяется любым из порядковых соотно-
шений (3.29) и (3.30).
     Теорема 3.10 с учетом леммы 12 непосредственно вытекает из теоремы 3.9.

   3.5. Метод механических квадратур. Возьмем на сегменте [−1, 1] систему узлов
Чебышева I–рода
                                  (2k + 1)π
                         tk = cos           , k = 0, n,                   (3.31)
                                    2n + 2
и рассмотрим квадратурную формулу Эрмита
                      +1
                                            π 
                                                        n
                              z(s)
                            √        ds ≈           z(tk ), z ∈ C[−1, 1].             (3.32)
                              1 − s2      n + 1 k=0
                     −1


                                                       48

Страницы