Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Запишем систему (3.17), (3.23) в операторной форме. Для этого в пространстве
X введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
n
,n∈ N, и пусть L
n
есть оператор Лагран-
жа алгебраического интерполирования по узлам (3.24). Тогда СЛАУ (3.17), (3.23)
эквивалентна заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению (3.7), где
P
n
= L
n
.
Покажем однозначную разрешимость уравнения (3.7). С этой целью возьмем про-
извольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
− K
n
x
n
. С учетом неравен-
ства Коши–Буняковского имеем
Kx
n
− K
n
x
n
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
= H[h − P
T
n
h]x
n
2,ρ
≤
≤x
n
2,ρ
·h − P
T
n
h
2;ρ,1/ρ
≤ 2P
n
C→L
2,ρ
· E
T
n
(h)
∞;2,1/ρ
x
n
2,ρ
. (3.27)
Отсюда, используя лемму 12, находим
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ 2
√
πE
T
n
(h)
∞;2,1/ρ
→ 0,n→∞.
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (3.7) и эквивалентная ему СЛАУ (3.17),
(3.23) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых q
n
≡ ε
n
K
−1
<
1. Более того, из той же леммы 1 следует, что операторы K
−1
n
ограничены по норме
в совокупности.
Далее, для правых частей уравнений (3.6) и (3.7) имеем
δ
n
≡y − P
n
y
2,ρ
≤ 2
√
πE
n
(y)
∞
→ 0,n→∞,
что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью
x
∗
− x
∗
n
= O(ε
n
+ δ
n
)=O{E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞;2,1/ρ
}.
Для доказательства оценки (3.25) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учиты-
вая лемму 12, получим
x
∗
− x
∗
n
2,ρ
≤
1+K
−1
n
X
n
→X
n
·P
n
C→L
2,ρ
·H
L
2,ρ
→C
x
∗
− P
n
x
∗
2,ρ
=
= O(x
∗
− P
n
x
∗
2,ρ
)=O(E
n
(x
∗
)
∞
),
что и доказывает утверждение теоремы 3.7.
Далее, следствие 1 доказывается с использованием очевидного неравенства
z
2,ρ
≤
√
π z
∞
,z∈ C[−1, 1],ρ(t)=1/
√
1 − t
2
.
Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве C[−1, 1]
(см., напр., [15, 28, 34, 39]).
Теорема 3.8. В условиях теоремы 3.7 приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся к
точному решению x
∗
(t) в узлах коллокации (3.24) с быстротой
max
0≤k≤n
|x
∗
(t
k
) − x
∗
n
(t
k
)| = O(x
∗
− x
∗
n
2,ρ
). (3.28)
47
   Запишем систему (3.17), (3.23) в операторной форме. Для этого в пространстве
X введем подпространства Xn = Yn = IH n , n ∈ N, и пусть Ln есть оператор Лагран-
жа алгебраического интерполирования по узлам (3.24). Тогда СЛАУ (3.17), (3.23)
эквивалентна заданному в подпространстве Xn операторному уравнению (3.7), где
Pn = Ln .
   Покажем однозначную разрешимость уравнения (3.7). С этой целью возьмем про-
извольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . С учетом неравен-
ства Коши–Буняковского имеем

             Kxn − Kn xn X = Hxn − Pn Hxn  = H[h − PnT h]xn 2,ρ ≤

           ≤ xn 2,ρ · h − PnT h2;ρ,1/ρ ≤ 2Pn C→L2,ρ · EnT (h)∞;2,1/ρ xn 2,ρ .   (3.27)
Отсюда, используя лемму 12, находим
                                      √
               εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ 2 π EnT (h)∞;2,1/ρ → 0, n → ∞.

Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (3.7) и эквивалентная ему СЛАУ (3.17),
(3.23) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1  <
1. Более того, из той же леммы 1 следует, что операторы Kn−1 ограничены по норме
в совокупности.
   Далее, для правых частей уравнений (3.6) и (3.7) имеем
                                        √
                  δn ≡ y − Pn y2,ρ ≤ 2 π En (y)∞ → 0, n → ∞,

что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью
               x∗ − x∗n  = O(εn + δn ) = O{En (y)∞ + EnT (h)∞;2,1/ρ }.

   Для доказательства оценки (3.25) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учиты-
вая лемму 12, получим
                                                                 
     x∗ − x∗n 2,ρ ≤ 1 + Kn−1 Xn →Xn · Pn C→L2,ρ · HL2,ρ →C x∗ − Pn x∗ 2,ρ =

                          = O(x∗ − Pn x∗ 2,ρ ) = O(En (x∗ )∞ ),
что и доказывает утверждение теоремы 3.7.
   Далее, следствие 1 доказывается с использованием очевидного неравенства
                         √                                √
                 z2,ρ ≤ π z∞ , z ∈ C[−1, 1], ρ(t) = 1/ 1 − t2 .

   Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве C[−1, 1]
(см., напр., [15, 28, 34, 39]).

  Теорема 3.8. В условиях теоремы 3.7 приближенные решения x∗n (t) сходятся к
точному решению x∗ (t) в узлах коллокации (3.24) с быстротой

                        max |x∗ (tk ) − x∗n (tk )| = O(x∗ − x∗n 2,ρ ).                (3.28)
                        0≤k≤n



                                              47

Страницы