Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Заменим в левой части уравнения (3.1) интеграл по квадратурной формуле (3.32)
и потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (3.1) после такой замены совпа-
дали в узлах (3.31). В результате относительно приближенных значений {c
k
= x
n
(s
k
)}
решения уравнения (3.1) получим следующую СЛАУ:
c
j
+
π
n +1
n
k=0
h(t
j
,t
k
)
1 − t
2
k
c
k
= y(t
j
),j= 0,n. (3.33)
Если система (3.33) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью интерполяционного многочлена Лагранжа, построенного по узлам (3.31):
x
n
(s)=
n
k=0
c
k
l
k
(t), (3.34)
где l
k
(t)=
(−1)
k
√
1−t
2
k
n+1
T
n+1
(t)
t−t
k
,k= 0,n, – фундаментальные многочлены Лагранжа.
Для вычислительной схемы (3.1), (3.34), (3.33) имеет место
Теорема 3.11. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1],h ∈ C([−1, 1]
2
);
2) уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь нулевое решение.
Тогда СЛАУ (3.33) имеет единственное решение {c
∗
k
}, хотя бы при всех нату-
ральных n, начиная с некоторого. Приближенные решения x
∗
n
(t), построенные по
формуле (3.34) при c
k
= c
∗
k
,k= 0,n, сходятся к точному решению x
∗
(t) уравнения
(3.1) в пространстве L
2,ρ
,ρ= ρ(t)=1/
√
1 − t
2
, со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
+ E
s
n
(
h)
∞
}, (3.35)
где
h(t, s)=h(t, s) ·
√
1 − s
2
.
Следствие. Пусть функции y и
h (по каждой из переменных равномерно отно-
сительно другой) принадлежат классу W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 –целое,а0 <γ≤ 1.Тогда
для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство. В пространстве X = Y = L
2,ρ
,ρ= ρ(t)=1/
√
1 − t
2
, уравнение
(3.1) запишем в виде операторного уравнения (3.6), где
(Hx)(t) ≡ (H
hx)(t)=
+1
−1
h(t, s)x(s)
√
1 − s
2
ds =
+1
−1
h(t, s)x(s) ds,
а оператор K, в условиях теоремы 3.11, в пространстве X имеет ограниченный об-
ратный K
−1
.
Теперь запишем систему (3.33) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
n
,n∈ N, и пусть L
n
есть оператор Лагранжа
49
   Заменим в левой части уравнения (3.1) интеграл по квадратурной формуле (3.32)
и потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (3.1) после такой замены совпа-
дали в узлах (3.31). В результате относительно приближенных значений {ck = xn (sk )}
решения уравнения (3.1) получим следующую СЛАУ:
                                                    
                                 π 
                                      n
                        cj +             h(tj , tk ) 1 − t2k ck = y(tj ), j = 0, n.   (3.33)
                               n + 1 k=0

Если система (3.33) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью интерполяционного многочлена Лагранжа, построенного по узлам (3.31):
                                                       
                                                       n
                                            xn (s) =         ck lk (t),               (3.34)
                                                       k=0
                    √
               (−1)k 1−t2k Tn+1 (t)
где lk (t) =       n+1      t−tk
                                    ,   k = 0, n, – фундаментальные многочлены Лагранжа.
   Для вычислительной схемы (3.1), (3.34), (3.33) имеет место

   Теорема 3.11. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1], h ∈ C([−1, 1]2 );
   2) уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь нулевое решение.
    Тогда СЛАУ (3.33) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех нату-
ральных n, начиная с некоторого. Приближенные решения x∗n (t), построенные по
формуле (3.34) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся
                                          √       к точному решению x∗ (t) уравнения
(3.1) в пространстве L2,ρ , ρ = ρ(t) = 1/ 1 − t2 , со скоростью

                         x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)∞ + EnT (h)∞ + Ens (
                                                                       h)∞ },         (3.35)
                          √
где 
    h(t, s) = h(t, s) ·       1 − s2 .

   Следствие. Пусть функции y и h (по каждой из переменных равномерно отно-
сительно другой) принадлежат классу W r Hγ , где r ≥ 0 – целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда
для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

                            x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

                                                               √
    Доказательство. В пространстве X = Y = L2,ρ , ρ = ρ(t) = 1/ 1 − t2 , уравнение
(3.1) запишем в виде операторного уравнения (3.6), где
                                               +1                +1
                                                   h(t, s)x(s)
                   (Hx)(t) ≡ (H 
                                hx)(t) =            √          ds = h(t, s)x(s) ds,
                                                      1 − s2
                                               −1                         −1

а оператор K, в условиях теоремы 3.11, в пространстве X имеет ограниченный об-
ратный K −1 .
   Теперь запишем систему (3.33) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства Xn = Yn = IH n , n ∈ N, и пусть Ln есть оператор Лагранжа

                                                       49

Страницы