Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 45 стр.

Если h(t, s) непрерывна по переменной s, то погрешность приближенных решений
в пространстве L1 (−1, 1) характеризуется соотношением

                     x∗ − x∗n 1 = O{ln n[En (y)1 + EnT (h)1,∞ ]},            (3.22 )

где En (z)1 – наилучшее приближение функции z ∈ L1 алгебраическими многочлена-
ми из IH n .

   Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица в пространстве L1 . Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся
к точному решению x∗ (t) в пространстве L1 со скоростью (3.22). В частности, при
y ∈ W r H1γ , h ∈ W r H1γ (по t), где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость сходимости
приближенных решений к точному определяется формулой
                                            ln n 
                        ∗
                     x −    x∗n 1   =O             , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                            nr+γ

  Доказательство теорем. Как и выше, введем в рассмотрение пространство
X = Y = L2,ρ с нормой

                                        +1               1/2
                  x2,ρ ≡ xL2,ρ    =     ρ(t)|x(t)|2 dt      , x ∈ L2,ρ .
                                           −1


В этом пространстве уравнение (3.1) запишем в виде операторного уравнения (3.6),
где оператор K в пространстве X имеет ограниченный обратный.
   Запишем теперь систему (3.17)–(3.18) в операторной форме. Для этого в про-
странстве X введем подпространства Xn = Yn = IH n , n ∈ N. Пусть Ln+1 (z; t) есть
интерполяционный многочлен Лагранжа для функции z ∈ C[−1, 1] по узлам (3.19).
Для функции x ∈ L2,ρ построим многочлен Πn (x ; t) степени n, обладающий свой-
ствами:
                      
                      tj+1                
                                          tj +1

                          Πn (x ; t) dt =       x (t) dt, j = 0 , n.
                        tj                      tj

Как отмечено в $ 1, такой многочлен существует, единствен и определяется форму-
лой:
                                          d
                              Πn (x ; t) = Ln+1 (z ; t),
                                          dt
                   T
где функция z(t) = 0 x(s) ds.
   Обозначив через Pn = Πn , нетрудно показать, что СЛАУ (3.17)–(3.18) эквива-
лентна заданному в подпространстве Xn операторному уравнению (3.7). Поскольку
оператор Pn здесь обладает такими же свойствами, что и соответствующий оператор
Фурье в методе Галеркина (см. леммы 14 и 15), то сформулированные выше теоремы
доказываются так же, как и теоремы 3.1 и 3.2.
   Замечание. Из леммы 13 следует, что аналогичные результаты имеют место и
для вычислительной схемы метода подобластей, построенной по узлам Чебышева
I–рода.


                                                45