Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из неравенств (3.14) и (3.15) вытекает утверждение теоремы 3.4.
3.3. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n +2 точек
t
k
,k = 0,n+1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение урав-
нения (3.1) будем искать снова в виде многочлена (3.2), а его неизвестные коэффи-
циенты определим из условий
t
j+1
t
j
ρ(t)[Kx
n
(t) − y(t)] dt =0,j= 0,n. (3.16)
Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {c
k
} представляют СЛАУ вида
n
k=0
α
kj
c
k
= y
j
,j= 0,n, (3.17)
где
α
kj
=
t
j+1
t
j
ρ(t)K(t
k
)) dt, y
j
=
t
j+1
t
j
ρ(t)y(t) dt. (3.18)
Для вычислительной схемы метода подобластей (3.1), (3.2), (3.17)–(3.18) имеют
место следующие результаты.
Теорема 3.5. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2,ρ
,ρ(t)=
√
1 − t
2
;
2) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L
2,ρ
;
3) уравнение (3.1) имеет единственное решение при любой правой части из L
2,ρ
;
4) t
j
= −cos
jπ
n +1
,j=
0,n+1.
(3.19)
Тогда СЛАУ (3.17)–(3.18) также имеет единственное решение {c
∗
k
} хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(t),по-
строенные по формуле (3.2) при c
k
= c
∗
k
,k = 0,n, сходятся к точному решению
x
∗
(t) уравнения (3.1) в пространстве L
2,ρ
со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(x
∗
)
2,ρ
}. (3.20)
Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L
2,ρ
име-
ет место соотношение
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
2,ρ
+ E
n
(Hx
∗
)
2,ρ
};
в частности, если h(t, s) ∈ L
2,ρ
(−1, 1) ×L
2,1/ρ
(−1, 1),то
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
2,ρ
+ E
T
n
(h)
2;ρ,1/ρ
}.
43
Из неравенств (3.14) и (3.15) вытекает утверждение теоремы 3.4.

     3.3. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n + 2 точек
tk , k = 0, n + 1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение урав-
нения (3.1) будем искать снова в виде многочлена (3.2), а его неизвестные коэффи-
циенты определим из условий

                              
                              tj+1

                                  ρ(t)[Kxn (t) − y(t)] dt = 0, j = 0, n.         (3.16)
                              tj


Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {ck } представляют СЛАУ вида
                                           
                                           n
                                                 αkj ck = yj , j = 0, n,         (3.17)
                                           k=0

где
                                     
                                     tj+1                     
                                                              tj+1

                          αkj      =     ρ(t)K(tk )) dt, yj =     ρ(t)y(t) dt.   (3.18)
                                      tj                           tj


   Для вычислительной схемы метода подобластей (3.1), (3.2), (3.17)–(3.18) имеют
место следующие результаты.

      Теорема 3.5. Пусть выполнены условия:
                          √
      1) y ∈ L2,ρ , ρ(t) = 1 − t2 ;
   2) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L2,ρ ;
      3) уравнение (3.1) имеет единственное решение при любой правой части из L2,ρ ;
                       jπ
      4) tj = − cos       ,     j = 0, n + 1.
                      n+1
                                                                                 (3.19)
    Тогда СЛАУ (3.17)–(3.18) также имеет единственное решение {c∗k } хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), по-
строенные по формуле (3.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению
x∗ (t) уравнения (3.1) в пространстве L2,ρ со скоростью

                                      x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (x∗ )2,ρ }.         (3.20)


   Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L2,ρ име-
ет место соотношение

                          x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)2,ρ + En (Hx∗ )2,ρ };

в частности, если h(t, s) ∈ L2,ρ (−1, 1) × L2,1/ρ (−1, 1), то

                          x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)2,ρ + EnT (h)2;ρ,1/ρ }.

                                                         43

Страницы