Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
∗
k
,k= 0,n, обладают тем свойством, что невязка r
∗
n
(t) ≡ Kx
∗
n
(t) − y(t) сходится
к нулю в пространстве L
2,ρ
(−1, 1).
Доказательство. Обозначим через X = Y = L
2,ρ
,X
n
= IH
n
,Y
n
= KX
n
.По-
скольку оператор K : X −→ X ограничен, то Y
n
есть конечномерное подпростран-
ство пространства X, причем dim X
n
=dimY
n
. Рассмотрим условие (3.11):
min
{c
k
}
Kx
n
− y
2
L
2,ρ
≡ min
x
n
∈X
n
Kx
n
− y
2
L
2,ρ
=min
y
n
∈Y
n
y − y
n
2
L
2,ρ
.
В силу ограниченности оператора K в пространстве L
2,ρ
, система функций {K(t
j
)}
∞
j=0
является системой линейно–независимой и полной. Поэтому существует единствен-
ный элемент y
∗
n
∈ Y
n
такой, что
y − y
∗
n
2,ρ
=inf
y
n
∈Y
n
y − y
n
2,ρ
= E(y; Y
n
) ≡
E
n
(y)
2,ρ
.
Получили, что элемент y
∗
n
∈ Y
n
есть элемент наилучшего приближения для y ∈ L
2,ρ
.
Но, как хорошо известно, таким элементом в гильбертовом пространстве L
2,ρ
явля-
ется (n +1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по базису подпространства Y
n
.
Поэтому, обозначив через P
n
оператор Фурье, построенный по базису подпростран-
ства Y
n
, находим y
∗
n
= P
n
y.
Таким образом, элемент x
n
∈ X
n
, определяемый из условия (3.11), должен быть
решением уравнения
Kx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
).
Отметим также, что это уравнение в силу определений подпространств X
n
и Y
n
имеет
единственное решение x
∗
n
при любом натуральном n, при этом
r
∗
n
2,ρ
= y − P
n
y
2,ρ
=
E
n
(y)
2,ρ
→ 0,n→∞.
Теорема доказана.
Теорема 3.4. Пусть выполнены предположения 1) и 2) теоремы 3.3 и однород-
ное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь тривиальное ре-
шение. Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся к точному решению x
∗
(t) в
среднем со скоростью
x
∗
− x
∗
n
2,ρ
≤ η(K)E
n
(x
∗
)
2,ρ
,
где η(K)=K·K
−1
– число обусловленности оператора K : L
2,ρ
−→ L
2,ρ
.
В самом деле, x
∗
− x
∗
n
= K
−1
[Kx
∗
− Kx
∗
n
]=K
−1
[y − Kx
∗
n
]. Поэтому
x
∗
− x
∗
n
2,ρ
≤K
−1
·r
∗
n
2,ρ
. (3.14)
С другой стороны, r
∗
n
= K(x
∗
−x
∗
n
) имеет минимальную норму в L
2,ρ
и, следовательно,
для любого элемента x
n
∈ X
n
r
∗
n
2,ρ
≤K(x
∗
− x
n
)
2,ρ
≤K·x
∗
− x
n
2,ρ
.
Выбирая в качестве x
n
∈ X
n
элемент наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для x
∗
∈ L
2,ρ
, из последнего неравенства находим
r
∗
n
2,ρ
≤K·E
n
(x
∗
)
2,ρ
. (3.15)
42
c∗k , k = 0, n, обладают тем свойством, что невязка rn∗ (t) ≡ Kx∗n (t) − y(t) сходится
к нулю в пространстве L2,ρ (−1, 1).

   Доказательство. Обозначим через X = Y = L2,ρ , Xn = IH n , Yn = KXn . По-
скольку оператор K : X −→ X ограничен, то Yn есть конечномерное подпростран-
ство пространства X, причем dim Xn = dim Yn . Рассмотрим условие (3.11):
            min Kxn − y2L2,ρ ≡ min Kxn − y2L2,ρ = min y − yn 2L2,ρ .
             {ck }                      xn ∈Xn                        yn ∈Yn

В силу ограниченности оператора K в пространстве L2,ρ , система функций {K(tj )}∞
                                                                                j=0
является системой линейно–независимой и полной. Поэтому существует единствен-
ный элемент yn∗ ∈ Yn такой, что
                                                                    n (y)2,ρ .
                     y − yn∗ 2,ρ = inf y − yn 2,ρ = E(y; Yn ) ≡ E
                                    yn ∈Yn

Получили, что элемент yn∗ ∈ Yn есть элемент наилучшего приближения для y ∈ L2,ρ .
Но, как хорошо известно, таким элементом в гильбертовом пространстве L2,ρ явля-
ется (n + 1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по базису подпространства Yn .
Поэтому, обозначив через Pn оператор Фурье, построенный по базису подпростран-
ства Yn , находим yn∗ = Pn y.
   Таким образом, элемент xn ∈ Xn , определяемый из условия (3.11), должен быть
решением уравнения
                            Kxn = Pn y (xn ∈ Xn ).
Отметим также, что это уравнение в силу определений подпространств Xn и Yn имеет
единственное решение x∗n при любом натуральном n, при этом
                                                   n (y)2,ρ → 0, n → ∞.
                       rn∗ 2,ρ = y − Pn y2,ρ = E
Теорема доказана.

   Теорема 3.4. Пусть выполнены предположения 1) и 2) теоремы 3.3 и однород-
ное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь тривиальное ре-
шение. Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся к точному решению x∗ (t) в
среднем со скоростью
                         x∗ − x∗n 2,ρ ≤ η(K)En (x∗ )2,ρ ,
где η(K) = K · K −1  – число обусловленности оператора K : L2,ρ −→ L2,ρ .

   В самом деле, x∗ − x∗n = K −1 [Kx∗ − Kx∗n ] = K −1 [y − Kx∗n ]. Поэтому
                                 x∗ − x∗n 2,ρ ≤ K −1  · rn∗ 2,ρ .           (3.14)

С другой стороны, rn∗ = K(x∗ −x∗n ) имеет минимальную норму в L2,ρ и, следовательно,
для любого элемента xn ∈ Xn
                       rn∗ 2,ρ ≤ K(x∗ − xn )2,ρ ≤ K · x∗ − xn 2,ρ .
Выбирая в качестве xn ∈ Xn элемент наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для x∗ ∈ L2,ρ , из последнего неравенства находим
                                    rn∗ 2,ρ ≤ K · En (x∗ )2,ρ .               (3.15)

                                                  42

Страницы