Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве L
2,ρ
(−1, 1)
(см., напр., [28, 39]).
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1];
2) функция h(t, s) такова, что H : L
2,ρ
−→ L
2,ρ
вполне непрерывен и H :
L
2,ρ
−→ C[−1, 1] ограничен;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение.
Тогда при всех достаточно больших n СЛАУ (3.3)–(3.4) имеет единственное
решение {c
∗
k
}. Для погрешности приближенных решений в равномерной метрике
справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
n
(x
∗
)
∞
}. (3.9)
Если h(t, s) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C[−1, 1] характеризуется соотношением
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n[E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
]}. (3.9
)
Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x
∗
(t) со скоростью (3.9). В частности, при y ∈ W
r
H
γ
,h ∈ W
r
H
γ
(по
переменной t), где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, скорость равномерной сходимости
приближенных решений к точному определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство. Прежде всего заметим, что мы находимся в условиях теоре-
мы 3.1, поэтому разрешиость СЛАУ (3.3)–(3.4) имеет место, хоты бы при достаточно
больших n. С другой стороны, в условиях теоремы 3.2 точное решение x
∗
(t) является
функцией непрерывной. Поэтому имеет смысл рассматривать погрешность прибли-
женных решений в равномерной метрике.
С учетом тождеств x
∗
≡ y − Hx
∗
,x
∗
n
≡ P
n
y − P
n
Hx
∗
n
и неравенства треугольника
для нормы имеем
x
∗
− x
∗
n
∞
≤x
∗
− P
n
x
∗
∞
+ P
n
x
∗
− x
∗
n
∞
≤
≤ 2P
n
C
2π
→C
2π
E
n
(x
∗
)
∞
+ P
n
Hx
∗
n
− P
n
Hx
∗
∞
≤
≤P
n
C
2π
→C
2π
{2E
n
(x
∗
)
∞
+ H
L
2,ρ
→C
x
∗
− x
∗
n
2,ρ
} =
= O{E
n
(x
∗
)
∞
+ E
n
(x
∗
)
2,ρ
} = O{E
n
(x
∗
)
∞
}.
Для получения оценки (3.9
) заметим, что
E
n
(x
∗
)
∞
≤ E
n
(y)
∞
+ E
n
(Hx
∗
)
∞
. (3.10)
40
   Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве L2,ρ (−1, 1)
(см., напр., [28, 39]).

   Теорема 3.2. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
    2) функция h(t, s) такова, что H : L2,ρ −→ L2,ρ вполне непрерывен и H :
L2,ρ −→ C[−1, 1] ограничен;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение.
   Тогда при всех достаточно больших n СЛАУ (3.3)–(3.4) имеет единственное
решение {c∗k }. Для погрешности приближенных решений в равномерной метрике
справедлива следующая порядковая оценка

                              x∗ − x∗n ∞ = O{ln nEn (x∗ )∞ }.                (3.9)

Если h(t, s) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C[−1, 1] характеризуется соотношением

                        x∗ − x∗n ∞ = O{ln n[En (y)∞ + EnT (h)∞ ]}.           (3.9 )


   Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x∗ (t) со скоростью (3.9). В частности, при y ∈ W r Hγ , h ∈ W r Hγ (по
переменной t), где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость равномерной сходимости
приближенных решений к точному определяется формулой
                                            ln n 
                        x∗ − x∗n ∞ = O            , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                            nr+γ

   Доказательство. Прежде всего заметим, что мы находимся в условиях теоре-
мы 3.1, поэтому разрешиость СЛАУ (3.3)–(3.4) имеет место, хоты бы при достаточно
больших n. С другой стороны, в условиях теоремы 3.2 точное решение x∗ (t) является
функцией непрерывной. Поэтому имеет смысл рассматривать погрешность прибли-
женных решений в равномерной метрике.
   С учетом тождеств x∗ ≡ y − Hx∗ , x∗n ≡ Pn y − Pn Hx∗n и неравенства треугольника
для нормы имеем

                      x∗ − x∗n ∞ ≤ x∗ − Pn x∗ ∞ + Pn x∗ − x∗n ∞ ≤

                  ≤ 2Pn C2π →C2π En (x∗ )∞ + Pn Hx∗n − Pn Hx∗ ∞ ≤
                ≤ Pn C2π →C2π {2En (x∗ )∞ + HL2,ρ →C x∗ − x∗n 2,ρ } =
                        = O{En (x∗ )∞ + En (x∗ )2,ρ } = O{En (x∗ )∞ }.
Для получения оценки (3.9 ) заметим, что

                             En (x∗ )∞ ≤ En (y)∞ + En (Hx∗ )∞ .               (3.10)

                                               40

Страницы