ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
≤x
n
·sup
z∈V
Hz − P
n
Hz, (3.8)
где V есть единичный шар с центром в нуле пространства X. Поскольку по условию
оператор H вполне непрерывен, то он множество V переводит в компактное множе-
ство пространства X. На таком множестве по теореме Гельфанда, как уже отмеча-
лось выше, сильно сходящаяся последовательность операторов сходится равномерно.
Тогда из (3.8) следует, что (см. также [39])
ε
n
≡K − K
n
X
n
X
≤ sup
g∈HV
g − P
n
g→0,n→∞.
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (3.7) и эквивалентная ему СЛАУ (3.3)–
(3.4) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых q
n
≡ ε
n
K
−1
< 1.
Более того, операторы K
−1
n
ограничены по норме в совокупности.
Далее, для правых частей уравнений (3.6) и (3.7) имеем
δ
n
≡y − P
n
y = E
n
(y)
2,ρ
→ 0,n→∞,
что, с учетом той же леммы 1, доказывает сходимость приближенных решений к
точному в пространстве X со скоростью
x
∗
− x
∗
n
= O(ε
n
+ δ
n
).
Для доказательства оценки (3.5) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учитывая
лемму 9, имеем
x
∗
− x
∗
n
X
≤
1+K
−1
n
·P
n
·H
x
∗
− P
n
x
∗
=
= O(x
∗
− P
n
x
∗
2,ρ
)=O(E
n
(x
∗
)
2,ρ
).
Теорема 2.1 доказана.
Далее, следствие 1 доказывается с использованием тождества x
∗
≡ y − Hx
∗
и известного неравенства для наилучших приближений E
n
(x + y)
2,ρ
≤ E
n
(x)
2,ρ
+
E
n
(y)
2,ρ
, справедливого для любых x, y ∈ L
2,ρ
. Если же функция h(t, s) ∈ L
2,ρ
(−1, 1)×
L
2,1/ρ
(−1, 1) ≡ V , то, обозначив через h
n
(t, s) ∈ V функцию, являющуюся алгебра-
ическим многочленом степени n наилучшего среднеквадратического приближения
для функции h(t, s) по переменной t, с учетом неравенства Коши–Буняковского бу-
дем иметь:
E
n
(Hx
∗
)
2
2,ρ
≤Hhx
∗
− Hh
n
x
∗
2
2,ρ
=
=
+1
−1
ρ(t)
+1
−1
[h(t, s) − h
n
(t, s)]x
∗
(s) ds
2
dt ≤
≤
+1
−1
+1
−1
ρ(t)
ρ(s)
|h(s, σ) − h
n
(s, σ)|
2
ds dt ·
+1
−1
ρ(s)|x
∗
(s)|
2
ds =
= h − h
n
2;ρ,1/ρ
·x
∗
2,ρ
= E
T
n
(h)
2,ρ,1/ρ
·x
∗
2,ρ
.
39
≤ xn · sup Hz − Pn Hz, (3.8)
z∈V
где V есть единичный шар с центром в нуле пространства X. Поскольку по условию
оператор H вполне непрерывен, то он множество V переводит в компактное множе-
ство пространства X. На таком множестве по теореме Гельфанда, как уже отмеча-
лось выше, сильно сходящаяся последовательность операторов сходится равномерно.
Тогда из (3.8) следует, что (см. также [39])
εn ≡ K − Kn Xn X ≤ sup g − Pn g → 0, n → ∞.
g∈HV
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (3.7) и эквивалентная ему СЛАУ (3.3)–
(3.4) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1 < 1.
Более того, операторы Kn−1 ограничены по норме в совокупности.
Далее, для правых частей уравнений (3.6) и (3.7) имеем
δn ≡ y − Pn y = En (y)2,ρ → 0, n → ∞,
что, с учетом той же леммы 1, доказывает сходимость приближенных решений к
точному в пространстве X со скоростью
x∗ − x∗n = O(εn + δn ).
Для доказательства оценки (3.5) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учитывая
лемму 9, имеем
x∗ − x∗n X ≤ 1 + Kn−1 · Pn · H x∗ − Pn x∗ =
= O(x∗ − Pn x∗ 2,ρ ) = O(En (x∗ )2,ρ ).
Теорема 2.1 доказана.
Далее, следствие 1 доказывается с использованием тождества x∗ ≡ y − Hx∗
и известного неравенства для наилучших приближений En (x + y)2,ρ ≤ En (x)2,ρ +
En (y)2,ρ , справедливого для любых x, y ∈ L2,ρ . Если же функция h(t, s) ∈ L2,ρ (−1, 1)×
L2,1/ρ (−1, 1) ≡ V , то, обозначив через hn (t, s) ∈ V функцию, являющуюся алгебра-
ическим многочленом степени n наилучшего среднеквадратического приближения
для функции h(t, s) по переменной t, с учетом неравенства Коши–Буняковского бу-
дем иметь:
En (Hx∗ )22,ρ ≤ Hhx∗ − Hhn x∗ 22,ρ =
2
+1 +1
= ρ(t) [h(t, s) − hn (t, s)]x∗ (s) ds dt ≤
−1 −1
+1+1 +1
ρ(t)
≤ |h(s, σ) − hn (s, σ)|2 ds dt · ρ(s)|x∗ (s)|2 ds =
ρ(s)
−1−1 −1
= h − hn 2;ρ,1/ρ · x∗ 2,ρ = EnT (h)2,ρ,1/ρ · x∗ 2,ρ .
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
