Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а неизвестные коэффициенты {c
k
} определим из условий:
+1
−1
ρ(t)[Kx
n
(t) − y(t)] t
j
dt =0,j= 0,n,
где ρ(t) – некоторая весовая на [−1, 1] функция. Эти условия дают СЛАУ (n +1)–го
порядка относительно n +1коэффициентов {c
k
} полинома (3.2):
n
k=0
α
kj
c
k
= y
j
,j= 0,n, (3.3)
где
α
kj
=
+1
−1
ρ(t)K(t
k
)t
j
dt, y
j
=
+1
−1
ρ(t)y(t)t
j
dt. (3.4)
Для вычислительной схемы метода Галеркина (3.1)–(3.4) имеет место
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:
1) ρ(t)=1/
√
1 − t
2
или ρ(t)=
√
1 − t
2
;
2) y ∈ L
2,ρ
(−1, 1);
3) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L
2,ρ
(−1, 1);
4) уравнение (3.1) имеет единственное решение при любой правой части из L
2,ρ
.
Тогда СЛАУ (3.3)–(3.4) также имеет единственное решение {c
∗
k
} хотя бы при
всех n, начиная с некоторого натурального n
0
. Приближенные решения x
∗
n
(t),по-
строенные по формуле (3.2) при c
k
= c
∗
k
,k = 0,n, сходятся к точному решению
x
∗
(t) уравнения (3.1) в пространстве L
2,ρ
(−1, 1) со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(x
∗
)
2,ρ
}, (3.5)
где E
n
(z)
2,ρ
– наилучшее среднеквадратическое приближение элемента z ∈ L
2,ρ
(−1, 1)
алгебраическими многочленами степени не выше n.
Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L
2,ρ
(−1, 1)
имеет место порядковое соотношение
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
2,ρ
+ E
n
(Hx
∗
)
2,ρ
};(3.5
)
в частности, если h(t, s) ∈ L
2,ρ
(−1, 1) × L
2,1/ρ
(−1, 1),то
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
2,ρ
+ E
s
n
(h)
2;ρ,1/ρ
},
где E
s
n
(h)
2;ρ,1/ρ
– частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции
h(t, s) ∈ L
2,ρ
(−1, 1) × L
2,1/ρ
(−1, 1) по переменной s алгебраическими многочленами
степени не выше n.
37
а неизвестные коэффициенты {ck } определим из условий:

                              +1
                                 ρ(t)[Kxn (t) − y(t)] tj dt = 0, j = 0, n,
                              −1


где ρ(t) – некоторая весовая на [−1, 1] функция. Эти условия дают СЛАУ (n + 1)–го
порядка относительно n + 1 коэффициентов {ck } полинома (3.2):

                                         
                                         n
                                               αkj ck = yj , j = 0, n,           (3.3)
                                         k=0

где
                                    +1                   +1
                             αkj   = ρ(t)K(tk )tj dt, yj = ρ(t)y(t)tj dt.        (3.4)
                                    −1                          −1

      Для вычислительной схемы метода Галеркина (3.1)–(3.4) имеет место

      Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:
                  √                 √
      1) ρ(t) = 1/ 1 − t2 или ρ(t) = 1 − t2 ;
      2) y ∈ L2,ρ (−1, 1);
   3) ядро h(t, s) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L2,ρ (−1, 1);
      4) уравнение (3.1) имеет единственное решение при любой правой части из L2,ρ .
    Тогда СЛАУ (3.3)–(3.4) также имеет единственное решение {c∗k } хотя бы при
всех n, начиная с некоторого натурального n0 . Приближенные решения x∗n (t), по-
строенные по формуле (3.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению
x∗ (t) уравнения (3.1) в пространстве L2,ρ (−1, 1) со скоростью

                                     x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (x∗ )2,ρ },          (3.5)

где En (z)2,ρ – наилучшее среднеквадратическое приближение элемента z ∈ L2,ρ (−1, 1)
алгебраическими многочленами степени не выше n.

   Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L2,ρ (−1, 1)
имеет место порядковое соотношение

                             x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)2,ρ + En (Hx∗ )2,ρ };     (3.5 )

в частности, если h(t, s) ∈ L2,ρ (−1, 1) × L2,1/ρ (−1, 1), то

                             x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)2,ρ + Ens (h)2;ρ,1/ρ },

где Ens (h)2;ρ,1/ρ – частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции
h(t, s) ∈ L2,ρ (−1, 1) × L2,1/ρ (−1, 1) по переменной s алгебраическими многочленами
степени не выше n.


                                                       37

Страницы