Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Первое слагаемое в (2.48) оценивается просто:
I
1
≤ 2P
n
C
2π
→C
2π
E
T
n
(x
∗
)
∞
= O{ln n · E
T
n
(x
∗
)
∞
}. (2.49)
Оценку второго слагаемого I
2
будем проводить, исходя из уравнений (2.6) и (2.42):
I
2
= P
n
Hx
∗
− P
n
H(P
σ
n
h)x
∗
n
∞
= O(ln n) ·Hx
∗
− h(P
σ
n
h)x
∗
n
∞
. (2.50)
Но
Hx
∗
− H(P
σ
n
h)x
∗
n
∞
≤H(h − P
σ
n
h)x
∗
∞
+ H(P
σ
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)
∞
≤
≤h − P
σ
n
h
∞,2
x
∗
2
+ P
σ
n
h
∞,2
·x
∗
− x
∗
n
2
=
= O{E
T
n
σ
(h)
∞
+ x
∗
− x
∗
n
2
}.
Последнее соотношение позволяет продолжить оценку (2.50):
I
2
= O{ln n [E
T
n
σ
(h)
∞
+ x
∗
− x
∗
n
2
]}. (2.51)
Из (2.48)–(2.50) и теоремы 2.15 вытекает утверждение теоремы 2.17.
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном способе обоснования
вычислительной схемы (2.1), (2.40), (2.39). Наряду с СЛАУ (2.39) метода механиче-
ских квадратур, рассмотрим СЛАУ (2.19), (2.29) метода коллокации. Эти системы
запишем в операторной форме в пространстве X = m
n
(2n +1)–мерных векторов
c =(c
0
,...,c
2n
) снормойc =max
k
|c
k
|. Для этого заметим, что полином (2.2) может
быть представлен в виде
x
n
(s)=
2
2n +1
2n
k=0
x
n
(s
k
)D
n
(s − s
k
),
где D
n
(s) – ядро Дирихле n–го порядка. Поэтому СЛАУ метода коллокации в про-
странстве X имеет вид
A
n
c ≡ c + A
n
c = y (c, y ∈ X), (2.52)
а СЛАУ (2.39) – вид
B
n
c ≡ c + B
n
c = y (c, y ∈ X), (2.53)
где матрицы A
n
= {α
kj
} и B
n
= β
kj
задаются коэффициентами
α
kj
=
1
(2n +1)π
2π
0
h(s
j
,σ)D
n
(σ − s
k
) dσ,
β
kj
=
1
2n +1
h(s
j
,s
k
).
Рассмотрим для произвольного элемента
c =(c
0
,c
1
,...,c
2n
) ∈ X, c
k
= x
n
(s
k
),
A
n
c − B
n
c =max
0≤j≤2n
2n
k=0
[α
kj
− β
kj
]c
k
=max
0≤j≤2n
2n
k=0
[α
kj
− β
kj
]x
n
(s
k
)
=
35
Первое слагаемое в (2.48) оценивается просто:

                      I1 ≤ 2Pn C2π →C2π EnT (x∗ )∞ = O{ln n · EnT (x∗ )∞ }.               (2.49)

Оценку второго слагаемого I2 будем проводить, исходя из уравнений (2.6) и (2.42):

          I2 = Pn Hx∗ − Pn H(Pnσ h)x∗n ∞ = O(ln n) · Hx∗ − h(Pnσ h)x∗n ∞ .              (2.50)

Но
           Hx∗ − H(Pnσ h)x∗n ∞ ≤ H(h − Pnσ h)x∗ ∞ + H(Pnσ h)(x∗ − x∗n )∞ ≤
                      ≤ h − Pnσ h∞,2 x∗ 2 + Pnσ h∞,2 · x∗ − x∗n 2 =
                                 = O{EnT σ (h)∞ + x∗ − x∗n 2 }.
Последнее соотношение позволяет продолжить оценку (2.50):

                            I2 = O{ln n [EnT σ (h)∞ + x∗ − x∗n 2 ]}.                      (2.51)

     Из (2.48)–(2.50) и теоремы 2.15 вытекает утверждение теоремы 2.17.

   В заключение этого параграфа остановимся еще на одном способе обоснования
вычислительной схемы (2.1), (2.40), (2.39). Наряду с СЛАУ (2.39) метода механиче-
ских квадратур, рассмотрим СЛАУ (2.19), (2.29) метода коллокации. Эти системы
запишем в операторной форме в пространстве X = mn (2n + 1)–мерных векторов
c = (c0 , . . . , c2n ) с нормой c = max |ck |. Для этого заметим, что полином (2.2) может
                                         k
быть представлен в виде

                                       2 
                                                    2n
                            xn (s) =            xn (sk )Dn (s − sk ),
                                     2n + 1 k=0

где Dn (s) – ядро Дирихле n–го порядка. Поэтому СЛАУ метода коллокации в про-
странстве X имеет вид

                                An c ≡ c + An c = y         (c, y ∈ X),                     (2.52)

а СЛАУ (2.39) – вид
                                B n c ≡ c + Bn c = y        (c, y ∈ X),                     (2.53)
где матрицы An = {αkj } и Bn = βkj задаются коэффициентами

                                               2π
                                      1
                          αkj   =                    h(sj , σ)Dn (σ − sk ) dσ,
                                  (2n + 1)π
                                                0

                                                 1
                                     βkj =            h(sj , sk ).
                                               2n + 1
     Рассмотрим для произвольного элемента c = (c0 , c1 , . . . , c2n ) ∈ X, ck = xn (sk ),

                                   
                                   2n                           
                                                                2n
         An c − B n c = max            [αkj − βkj ]ck   = max    [αkj − βkj ]xn (sk ) =
                          0≤j≤2n                             0≤j≤2n
                                   k=0                                k=0


                                                     35

Страницы