Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= H(h − P
σ
n
h)x
n
∞
≤h − P
σ
n
h
∞,2
·x
n
2
≤ 2E
T
n
σ
(h)
∞
·x
n
X
. (2.45)
Из (2.43)–(2.45) находим
ε
n
≡Kx
n
− K
n
x
n
X
n
→X
≤ 2{E
T
n
s
(h)
∞
+ E
T
n
σ
(h)
∞
}→0,n→∞,
что влечет за собой однозначную разрешимость уравнения (2.42), хотя бы для до-
статочно больших n, а следовательно, и СЛАУ (2.38), при этом
K
−1
n
X
n
→X
n
= O(1),n→∞.
Остается заметить, что
δ
n
≡y −P
n
y
2
≤ 2E
T
n
(y)
∞
→ 0,n→∞,
чтобы получить утверждение теоремы и ее следствия.
Теорема 2.16. В условиях теоремы 2.15 приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся
к точному решению x
∗
(s) в узлах (2.37) со скоростью:
max
0≤k≤2n
|x
∗
(s
k
) − c
∗
k
| = O{E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
+ E
T
n
σ
(h)
∞
}. (2.46)
В самом деле, из уравнений (2.6) и (2.42) следует, что
|x
∗
(s
k
) − c
∗
k
| = |x
∗
(s
k
) − x
∗
n
(s
k
)| = |(Hhx
∗
)(s
k
) − (HP
σ
n
(hx
∗
n
))(s
k
)|≤
≤|[H(h − P
σ
n
h)x
∗
](s
k
)| + |[H(P
σ
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)](s
k
)|≤
≤H(h − P
σ
n
h)x
∗
∞
+ H(P
σ
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)
∞
≤
≤h − P
σ
n
h
∞,2
·x
∗
2
+ P
σ
n
h
∞,2
·x
∗
− x
∗
n
)
2
≤
≤ 2E
T
n
σ
(h)
∞
x
∗
2
+ h
∞
·x
∗
− x
∗
n
2
.
Остается теперь воспользоваться утверждением теоремы 2.15, чтобы получить тре-
буемую оценку.
Теорема 2.17. В условиях теоремы 2.15 для погрешности приближенных ре-
шений в пространстве C
2π
верна оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n [E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
+ E
T
n
σ
(h)
∞
]}. (2.47)
Теорема 2.18. Пусть, в условиях теоремы 2.15, функции y(s) и h(s, σ) (по
каждой из переменных равномерно относительно другой) удовлетворяют условию
Дини–Липшица.
Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) равномерно сходятся к точному решению
x
∗
(s) со скоростью (2.47).
Заметим, что утверждение теоремы 2.18 непосредственно вытекает из теоремы
2.17. Поэтому докажем теорему 2.17. Имеем
x
∗
− x
∗
n
∞
≤x
∗
− P
n
x
∗
∞
+ P
n
x
∗
− x
∗
n
∞
≡ I
1
+ I
2
. (2.48)
34
       = H(h − Pnσ h)xn ∞ ≤ h − Pnσ h∞,2 · xn 2 ≤ 2EnT σ (h)∞ · xn X .                 (2.45)
Из (2.43)–(2.45) находим

         εn ≡ Kxn − Kn xn Xn →X ≤ 2{EnT s (h)∞ + EnT σ (h)∞ } → 0, n → ∞,

что влечет за собой однозначную разрешимость уравнения (2.42), хотя бы для до-
статочно больших n, а следовательно, и СЛАУ (2.38), при этом

                                Kn−1 Xn →Xn = O(1), n → ∞.

Остается заметить, что

                        δn ≡ y − Pn y2 ≤ 2EnT (y)∞ → 0, n → ∞,

чтобы получить утверждение теоремы и ее следствия.

   Теорема 2.16. В условиях теоремы 2.15 приближенные решения x∗n (s) сходятся
к точному решению x∗ (s) в узлах (2.37) со скоростью:

                max |x∗ (sk ) − c∗k | = O{EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ + EnT σ (h)∞ }.                (2.46)
               0≤k≤2n



   В самом деле, из уравнений (2.6) и (2.42) следует, что

         |x∗ (sk ) − c∗k | = |x∗ (sk ) − x∗n (sk )| = |(Hhx∗ )(sk ) − (HPnσ (hx∗n ))(sk )| ≤

                  ≤ |[H(h − Pnσ h)x∗ ](sk )| + |[H(Pnσ h)(x∗ − x∗n )](sk )| ≤
                     ≤ H(h − Pnσ h)x∗ ∞ + H(Pnσ h)(x∗ − x∗n )∞ ≤
                   ≤ h − Pnσ h∞,2 · x∗ 2 + Pnσ h∞,2 · x∗ − x∗n )2 ≤
                          ≤ 2EnT σ (h)∞ x∗ 2 + h∞ · x∗ − x∗n 2 .
Остается теперь воспользоваться утверждением теоремы 2.15, чтобы получить тре-
буемую оценку.

  Теорема 2.17. В условиях теоремы 2.15 для погрешности приближенных ре-
шений в пространстве C2π верна оценка

                x∗ − x∗n ∞ = O{ln n [EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ + EnT σ (h)∞ ]}.                  (2.47)


  Теорема 2.18. Пусть, в условиях теоремы 2.15, функции y(s) и h(s, σ) (по
каждой из переменных равномерно относительно другой) удовлетворяют условию
Дини–Липшица.
    Тогда приближенные решения x∗n (s) равномерно сходятся к точному решению
x∗ (s) со скоростью (2.47).

   Заметим, что утверждение теоремы 2.18 непосредственно вытекает из теоремы
2.17. Поэтому докажем теорему 2.17. Имеем

                x∗ − x∗n ∞ ≤ x∗ − Pn x∗ ∞ + Pn x∗ − x∗n ∞ ≡ I1 + I2 .                    (2.48)

                                                 34

Страницы