Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и рассмотрим квадратурную формулу левых прямоугольников, построенную по уз-
лам (2.37):
1
2π
2π
0
z(s) ds ≈
1
2n +1
2n
k=0
z(s
k
),z∈ C
2π
. (2.38)
Заменим в левой части уравнения (2.1) интеграл на квадратурную сумму (2.38) и
потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (2.1) после такой замены совпада-
ли в узлах (2.37). В результате относительно приближенных значений {c
k
= x
n
(s
k
)}
решения уравнения (2.1) получим следующую СЛАУ:
c
j
+
1
2n +1
2n
k=0
h(s
j
,s
k
)c
k
= y(s
j
),j= 0, 2n. (2.39)
Если система (2.39) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью тригонометрического интерполяционного полинома Лагранжа:
x
n
(s)=
2
2n +1
2n
k=0
c
k
D
n
(s − s
k
), (2.40)
где D
n
(s) – ядро Дирихле n–го порядка.
Для вычислительной схемы (2.1), (2.40), (2.39) имеет место
Теорема 2.15. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C
2π
,h∈ C([0, 2π]
2
);
2) уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь нулевое решение.
Тогда СЛАУ (2.39) имеет единственное решение {c
∗
k
}, хотя бы при всех нату-
ральных n, начиная с некоторого. Приближенные решения x
∗
n
(s), построенные по
формуле (2.40) при c
k
= c
∗
k
,k= 0, 2n, сходятся к точному решению x
∗
(s) уравнения
(2.1) в пространстве L
2
со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
+ E
T
n
σ
(h)
∞
}. (2.41)
Следствие. Пусть функции y и h (по каждой из переменных равномерно отно-
сительно другой) принадлежат классу W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 –целое,а0 <γ≤ 1.Тогда
для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство. В пространстве X = Y = L
2
уравнение (2.1) запишем в виде
операторного уравнения (2.6), где, в условиях теоремы, оператор K в пространстве
X имеет ограниченный обратный K
−1
.
Теперь запишем систему (2.39) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
T
n
,n∈ N, и пусть L
T
n
есть оператор Лагранжа
тригонометрического интерполирования по узлам (2.37). Поскольку квадратурная
32
и рассмотрим квадратурную формулу левых прямоугольников, построенную по уз-
лам (2.37):
                       2π
                                       1 
                                             2n
                     1
                           z(s) ds ≈            z(sk ), z ∈ C2π .    (2.38)
                    2π               2n + 1 k=0
                             0

   Заменим в левой части уравнения (2.1) интеграл на квадратурную сумму (2.38) и
потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (2.1) после такой замены совпада-
ли в узлах (2.37). В результате относительно приближенных значений {ck = xn (sk )}
решения уравнения (2.1) получим следующую СЛАУ:

                              1 
                                        2n
                       cj +            h(sj , sk )ck = y(sj ), j = 0, 2n.     (2.39)
                            2n + 1 k=0

Если система (2.39) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью тригонометрического интерполяционного полинома Лагранжа:

                                            2 
                                                   2n
                                 xn (s) =            ck Dn (s − sk ),         (2.40)
                                          2n + 1 k=0

где Dn (s) – ядро Дирихле n–го порядка.
   Для вычислительной схемы (2.1), (2.40), (2.39) имеет место

   Теорема 2.15. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C2π , h ∈ C([0, 2π]2 );
   2) уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь нулевое решение.
    Тогда СЛАУ (2.39) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех нату-
ральных n, начиная с некоторого. Приближенные решения x∗n (s), построенные по
формуле (2.40) при ck = c∗k , k = 0, 2n, сходятся к точному решению x∗ (s) уравнения
(2.1) в пространстве L2 со скоростью

                    x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ + EnT σ (h)∞ }.   (2.41)


   Следствие. Пусть функции y и h (по каждой из переменных равномерно отно-
сительно другой) принадлежат классу W r Hγ , где r ≥ 0 – целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда
для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

                        x∗ − x∗n L2 = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

   Доказательство. В пространстве X = Y = L2 уравнение (2.1) запишем в виде
операторного уравнения (2.6), где, в условиях теоремы, оператор K в пространстве
X имеет ограниченный обратный K −1 .
   Теперь запишем систему (2.39) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства Xn = Yn = IH Tn , n ∈ N, и пусть LTn есть оператор Лагранжа
тригонометрического интерполирования по узлам (2.37). Поскольку квадратурная


                                                 32

Страницы