Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Запишем тождества для решений уравнений (2.6) и (2.7):
x
∗
(s
k
)+
1
2π
2π
0
h(s
k
,σ)x
∗
(σ) dσ = y(s
k
),
x
∗
n
(s
k
)+
1
2π
2π
0
h(s
k
,σ)x
∗
n
(σ) dσ = y(s
k
),
где s
k
– один из узлов (2.30). Из этих соотношений вытекает, что
|x
∗
(s
k
) − x
∗
n
(s
k
)|≤
1
2π
2π
0
|h(s
k
,σ)||x
∗
(σ) − x
∗
n
(σ)|dσ ≤
≤h(s
k
, ·)
2
·x
∗
− x
∗
n
2
≤h
∞,2
·x
∗
− x
∗
n
2
,
что и доказывает справедливость утверждения теоремы.
Замечание. Из теоремы 2.11 можно получить скорость сходимости приближен-
ных решений к точному в узлах коллокации, если решение обладает определенными
гладкостными свойствами (см., напр., следствие 2 к теореме 2.10).
Теорема 2.12. В условиях теоремы 2.10 для погрешности приближенных ре-
шений к точному в пространстве C
2π
справедливы следующие порядковые соотно-
шения:
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
T
n
(x
∗
)
∞
}, (2.34)
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n [E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞,2
]}. (2.35)
Доказательство теоремы 2.12 может быть проведено аналогично доказатель-
ству теоремы 2.3, так как операторы Фурье и Лагранжа в пространстве C
2π
, согласно
лемм 3–6, обладают одинаковыми свойствами.
Теорема 2.13. Пусть, в условиях теоремы 2.10, функции y(s) и h(s, σ) (по пе-
ременной s) удовлетворяют условию Дини–Липшица.
Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) равномерно сходятся к точному решению
x
∗
(s), при этом скорость сходимости определяется любым из порядковых соотно-
шений (2.34) и (2.35).
Теорема 2.13 с учетом леммы 6 непосредственно вытекает из теоремы 2.12.
Заметим, что из отрицательных результатов теории приближений тригонометри-
ческими интерполяционными полиномами (см., напр., в [34, 36, 39]) следует, что без
дополнительного требования о принадлежности функций y(s) и h(s, σ) (по перемен-
ной s) к классу Дини–Липшица обеспечить равномерную сходимость приближенных
решений к точному нельзя. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли прибли-
женное решение построить таким образом, чтобы соответствующая равномер-
ная сходимость имела место лишь при условии непрерывности данных функций
y(s) и h(s, σ)?
30
   Доказательство. Запишем тождества для решений уравнений (2.6) и (2.7):

                                         2π
                                    1
                        x∗ (sk ) +             h(sk , σ)x∗ (σ) dσ = y(sk ),
                                   2π
                                         0

                                         2π
                                     1
                        x∗n (sk ) +            h(sk , σ)x∗n (σ) dσ = y(sk ),
                                    2π
                                         0

где sk – один из узлов (2.30). Из этих соотношений вытекает, что

                                               2π
                                         1
               |x∗ (sk ) − x∗n (sk )| ≤              |h(sk , σ)| |x∗ (σ) − x∗n (σ)| dσ ≤
                                        2π
                                               0

                   ≤ h(sk , ·)2 · x∗ − x∗n 2 ≤ h∞,2 · x∗ − x∗n 2 ,
что и доказывает справедливость утверждения теоремы.

   Замечание. Из теоремы 2.11 можно получить скорость сходимости приближен-
ных решений к точному в узлах коллокации, если решение обладает определенными
гладкостными свойствами (см., напр., следствие 2 к теореме 2.10).

  Теорема 2.12. В условиях теоремы 2.10 для погрешности приближенных ре-
шений к точному в пространстве C2π справедливы следующие порядковые соотно-
шения:
                       x∗ − x∗n ∞ = O{ln n EnT (x∗ )∞ },            (2.34)
                     x∗ − x∗n ∞ = O{ln n [EnT (y)∞ + EnT s (h)∞,2 ]}.                    (2.35)

   Доказательство теоремы 2.12 может быть проведено аналогично доказатель-
ству теоремы 2.3, так как операторы Фурье и Лагранжа в пространстве C2π , согласно
лемм 3–6, обладают одинаковыми свойствами.

   Теорема 2.13. Пусть, в условиях теоремы 2.10, функции y(s) и h(s, σ) (по пе-
ременной s) удовлетворяют условию Дини–Липшица.
    Тогда приближенные решения x∗n (s) равномерно сходятся к точному решению
x∗ (s), при этом скорость сходимости определяется любым из порядковых соотно-
шений (2.34) и (2.35).
   Теорема 2.13 с учетом леммы 6 непосредственно вытекает из теоремы 2.12.
   Заметим, что из отрицательных результатов теории приближений тригонометри-
ческими интерполяционными полиномами (см., напр., в [34, 36, 39]) следует, что без
дополнительного требования о принадлежности функций y(s) и h(s, σ) (по перемен-
ной s) к классу Дини–Липшица обеспечить равномерную сходимость приближенных
решений к точному нельзя. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли прибли-
женное решение построить таким образом, чтобы соответствующая равномер-
ная сходимость имела место лишь при условии непрерывности данных функций
y(s) и h(s, σ)?


                                                      30

Страницы