Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где E
T
n
(z)
1
есть наилучшее приближение функции z ∈ L
1
тригонометрически-
ми полиномами из IH
T
n
,аE
T
n
s
(h)
1,∞
– частное наилучшее приближение функции
h(s, σ) ∈ L
1
× C
2π
по переменной s тригонометрическими полиномами из IH
T
n
.
Доказательство теорем 2.8 и 2.9 может быть проведено так же, как и доказа-
тельство теорем 2.6 и 2.7 соответственно, при этом используются соответствующие
аппроксимативные свойства операторов Π
n
, построенных по узлам (2.21), в простран-
ствах L
p
(1 <p<∞) и L
1
соответственно (см. леммы 7 и 8).
2.4. Метод коллокации. На сегменте [0, 2π] выберем систему из 2n +1 попарно
ннеэквивалентных точек s
k
,k = 0, 2n. Приближенное решение уравнения (2.1) бу-
дем искать в виде полинома (2.2), а неизвестные коэффициенты {α
k
} определим из
условий
[Kx
n
− y](s
j
)=0,j= 0, 2n. (2.28)
Условия (2.28) дают СЛАУ (2n +1)–го порядка вида (2.19), где
β
kj
= K(e
iks
; s
j
),y
j
= y(s
j
). (2.29)
Для вычислительной схемы метода коллокации (2.1), (2.2), (2.19), (2.29) имеет
место
Теорема 2.10. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C
2π
;
2) ядро h ∈ C
2π
× L
2
;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь нуле-
вое решение;
4) s
j
=
2jπ
2n +1
,j=
0, 2n. (2.30)
Тогда СЛАУ (2.19), (2.29) также имеет единственное решение {α
∗
k
} хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(s),по-
строенные по формуле (2.2) при α
k
= α
∗
k
,k= −n, n, сходятся к точному решению
x
∗
(s) уравнения (2.1) в пространстве L
2
со скоростью, определяемой любым из по-
рядковых соотношений:
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(x
∗
)
∞
}. (2.31)
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞,2
}. (2.32)
Следствие 1. Если h(s, σ) ∈ C([0, 2π]
2
), то скорость сходимости приближенных
решений к точному может быть охарактеризована порядковым соотношением
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
}.
Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 –
целое, а 0 <γ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
28
где EnT (z)1 есть наилучшее приближение функции z ∈ L1 тригонометрически-
ми полиномами из IH Tn , а EnT s (h)1,∞ – частное наилучшее приближение функции
h(s, σ) ∈ L1 × C2π по переменной s тригонометрическими полиномами из IH Tn .
   Доказательство теорем 2.8 и 2.9 может быть проведено так же, как и доказа-
тельство теорем 2.6 и 2.7 соответственно, при этом используются соответствующие
аппроксимативные свойства операторов Πn , построенных по узлам (2.21), в простран-
ствах Lp (1 < p < ∞) и L1 соответственно (см. леммы 7 и 8).

   2.4. Метод коллокации. На сегменте [0, 2π] выберем систему из 2n + 1 попарно
ннеэквивалентных точек sk , k = 0, 2n. Приближенное решение уравнения (2.1) бу-
дем искать в виде полинома (2.2), а неизвестные коэффициенты {αk } определим из
условий
                           [Kxn − y](sj ) = 0, j = 0, 2n.                 (2.28)
Условия (2.28) дают СЛАУ (2n + 1)–го порядка вида (2.19), где

                                βkj = K(eiks ; sj ), yj = y(sj ).           (2.29)

   Для вычислительной схемы метода коллокации (2.1), (2.2), (2.19), (2.29) имеет
место

   Теорема 2.10. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C2π ;
   2) ядро h ∈ C2π × L2 ;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь нуле-
вое решение;
             2jπ
  4) sj =          ,   j = 0, 2n.                                           (2.30)
            2n + 1

    Тогда СЛАУ (2.19), (2.29) также имеет единственное решение {αk∗ } хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (s), по-
строенные по формуле (2.2) при αk = αk∗ , k = −n, n, сходятся к точному решению
x∗ (s) уравнения (2.1) в пространстве L2 со скоростью, определяемой любым из по-
рядковых соотношений:
                             x∗ − x∗n L2 = O{EnT (x∗ )∞ }.               (2.31)
                          x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)∞ + EnT s (h)∞,2 }.      (2.32)

   Следствие 1. Если h(s, σ) ∈ C([0, 2π]2 ), то скорость сходимости приближенных
решений к точному может быть охарактеризована порядковым соотношением

                           x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ }.

   Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r Hγ , где r ≥ 0 –
целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
                       x∗ − x∗n L2 = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

                                               28

Страницы