Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2.7. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C
2π
;
2) ядро h(s, σ) таково, что соответствующий интегральный оператор H :
L
2
−→ L
2
вполне непрерывен, а H : L
2
−→ C
2π
ограничен;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение;
4) точки s
j
заданы формулой (2.21).
Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n
0
, СЛАУ (2.19)–
(2.20) имеет единственное решение {α
∗
k
}. Для погрешности приближенных реше-
ний в пространстве C
2π
справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
T
n
(x
∗
)
∞
}. (2.23)
Если же h(s, σ) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность прибли-
женных решений в пространстве C
2π
характеризуется соотношением
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n[E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
]}. (2.23
)
Следствие. Пусть функции y(s) и h(s, σ) (по переменной s) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся равномерно к
точному решению x
∗
(s) со скоростью (2.23). В частности, при y ∈ W
r
H
γ
,h ∈ W
r
H
γ
(по переменной s), где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, скорость равномерной сходимости
приближенных решений к точному определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство теорем. Как и выше, введем в рассмотрение пространство
X = Y = L
2
снормой
x
2
≡x
L
2
=
1
2π
2π
0
|x(s)|
2
ds , x ∈ L
2
.
В этом пространстве уравнение (2.1) запишем в виде операторного уравнения (2.6),
где оператор K в пространстве X имеет ограниченный обратный.
Запишем теперь систему (2.19)–(2.20) в операторной форме. Для этого в про-
странстве X введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
T
n
,n ∈ N.ПустьL
T
n
(z; s) есть
тригонометрический интерполяционный полином Лагранжа для функции z ∈ C
2π
по узлам (1.8). Для функции x ∈ L
2
построим тригонометрический полином Π
n
(x ; s)
порядка n, обладающий свойствами:
s
j+1
s
j
Π
n
(x ; s) ds =
s
j +1
s
j
x (s) ds, j = 0 , 2n.
26
   Теорема 2.7. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C2π ;
   2) ядро h(s, σ) таково, что соответствующий интегральный оператор H :
L2 −→ L2 вполне непрерывен, а H : L2 −→ C2π ограничен;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение;
   4) точки sj заданы формулой (2.21).
    Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n0 , СЛАУ (2.19)–
(2.20) имеет единственное решение {αk∗ }. Для погрешности приближенных реше-
ний в пространстве C2π справедлива следующая порядковая оценка

                            x∗ − x∗n ∞ = O{ln n EnT (x∗ )∞ }.               (2.23)

Если же h(s, σ) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность прибли-
женных решений в пространстве C2π характеризуется соотношением

                     x∗ − x∗n ∞ = O{ln n[EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ ]}.         (2.23 )


   Следствие. Пусть функции y(s) и h(s, σ) (по переменной s) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (s) сходятся равномерно к
точному решению x∗ (s) со скоростью (2.23). В частности, при y ∈ W r Hγ , h ∈ W r Hγ
(по переменной s), где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость равномерной сходимости
приближенных решений к точному определяется формулой
                                           ln n 
                       ∗
                     x −   x∗n ∞   =O               , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                           nr+γ

  Доказательство теорем. Как и выше, введем в рассмотрение пространство
X = Y = L2 с нормой
                                   
                                    2π
                                   
                                   1
                    x2 ≡ xL2 =      |x(s)|2 ds , x ∈ L2 .
                                     2π
                                                  0


В этом пространстве уравнение (2.1) запишем в виде операторного уравнения (2.6),
где оператор K в пространстве X имеет ограниченный обратный.
   Запишем теперь систему (2.19)–(2.20) в операторной форме. Для этого в про-
странстве X введем подпространства Xn = Yn = IH Tn , n ∈ N. Пусть LTn (z; s) есть
тригонометрический интерполяционный полином Лагранжа для функции z ∈ C2π
по узлам (1.8). Для функции x ∈ L2 построим тригонометрический полином Πn (x ; s)
порядка n, обладающий свойствами:
                       
                       sj+1                
                                           sj +1

                           Πn (x ; s) ds =       x (s) ds, j = 0 , 2n.
                       sj                    sj




                                              26

Страницы