Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Обозначим через X = Y = L
2
,X
n
= IH
T
n
,Y
n
= KX
n
.Посколь-
ку оператор K : X −→ X ограничен, то Y
n
есть конечномерное подпространство
пространства X, причем dim X
n
=dimY
n
. Рассмотрим условие (2.13):
min
{α
k
}
Kx
n
− y
2
L
2
≡ min
x
n
∈X
n
Kx
n
− y
2
L
2
=min
y
n
∈Y
n
y − y
n
2
L
2
.
В силу ограниченности оператора K в пространстве L
2
, система функций {Ke
ijs
}
∞
j=−∞
является системой линейно–независимой и полной. Поэтому существует единствен-
ный элемент y
∗
n
∈ Y
n
такой, что
y − y
∗
n
2
=inf
y
n
∈Y
n
y − y
n
2
= E(y; Y
n
) ≡
E
n
(y)
2
→ 0,n→∞.
Получили, что элемент y
∗
n
∈ Y
n
есть элемент наилучшего приближения для y ∈ L
2
.
Но, как хорошо известно, таким элементом в гильбертовом пространстве L
2
является
(2n +1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по базису подпространства Y
n
. Поэто-
му, обозначив через P
n
оператор Фурье n–го порядка по базису подпространства Y
n
,
находим y
∗
n
= P
n
y.
Таким образом, элемент x
n
∈ X
n
, определяемый из условия (2.13), должен быть
решением уравнения
Kx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
).
Отметим также, что это уравнение в силу определений подпространств X
n
и Y
n
имеет
единственное решение x
∗
n
при любом натуральном n, при этом
r
∗
n
2
= y − P
n
y
2
=
E
n
(y)
2
→ 0,n→∞.
Теорема доказана.
Теорема 2.5. Пусть выполнены предположения 1) и 2) теоремы 2.4 и однород-
ное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь тривиальное ре-
шение. Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся к точному решению x
∗
(s) в
среднем со скоростью
x
∗
− x
∗
n
2
≤ η(K)E
T
n
(x
∗
)
2
,
где η(K)=K·K
−1
– число обусловленности оператора K : L
2
−→ L
2
.
В самом деле, x
∗
− x
∗
n
= K
−1
[Kx
∗
− Kx
∗
n
]=K
−1
[y − Kx
∗
n
]. Поэтому
x
∗
− x
∗
n
2
≤K
−1
·r
∗
n
2
. (2.16)
С другой стороны, r
∗
n
= K(x
∗
−x
∗
n
) имеет минимальную норму в L
2
и, следовательно,
для любого элемента x
n
∈ X
n
r
∗
n
2
≤K(x
∗
− x
n
)
2
≤K·x
∗
− x
n
2
.
Выбирая в качестве x
n
∈ X
n
элемент наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для x
∗
, из последнего неравенства находим
r
∗
n
2
≤K·E
T
n
(x
∗
)
2
. (2.17)
Из оценок (2.16) и (2.17) вытекает утверждение теоремы 2.5.
24
   Доказательство. Обозначим через X = Y = L2 , Xn = IH Tn , Yn = KXn . Посколь-
ку оператор K : X −→ X ограничен, то Yn есть конечномерное подпространство
пространства X, причем dim Xn = dim Yn . Рассмотрим условие (2.13):

              min Kxn − y2L ≡ min Kxn − y2L = min y − yn 2L .
              {αk }               2      xn ∈Xn               2      yn ∈Yn   2



В силу ограниченности оператора K в пространстве L2 , система функций {Keijs }∞
                                                                              j=−∞
является системой линейно–независимой и полной. Поэтому существует единствен-
ный элемент yn∗ ∈ Yn такой, что
                                                       n (y)2 → 0, n → ∞.
            y − yn∗ 2 = inf y − yn 2 = E(y; Yn ) ≡ E
                         yn ∈Yn

Получили, что элемент yn∗ ∈ Yn есть элемент наилучшего приближения для y ∈ L2 .
Но, как хорошо известно, таким элементом в гильбертовом пространстве L2 является
(2n + 1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по базису подпространства Yn . Поэто-
му, обозначив через Pn оператор Фурье n–го порядка по базису подпространства Yn ,
находим yn∗ = Pn y.
   Таким образом, элемент xn ∈ Xn , определяемый из условия (2.13), должен быть
решением уравнения
                            Kxn = Pn y (xn ∈ Xn ).
Отметим также, что это уравнение в силу определений подпространств Xn и Yn имеет
единственное решение x∗n при любом натуральном n, при этом
                                              n (y)2 → 0, n → ∞.
                      rn∗ 2 = y − Pn y2 = E

Теорема доказана.

   Теорема 2.5. Пусть выполнены предположения 1) и 2) теоремы 2.4 и однород-
ное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь тривиальное ре-
шение. Тогда приближенные решения x∗n (s) сходятся к точному решению x∗ (s) в
среднем со скоростью
                          x∗ − x∗n 2 ≤ η(K)EnT (x∗ )2 ,
где η(K) = K · K −1  – число обусловленности оператора K : L2 −→ L2 .

   В самом деле, x∗ − x∗n = K −1 [Kx∗ − Kx∗n ] = K −1 [y − Kx∗n ]. Поэтому

                              x∗ − x∗n 2 ≤ K −1  · rn∗ 2 .                  (2.16)

С другой стороны, rn∗ = K(x∗ − x∗n ) имеет минимальную норму в L2 и, следовательно,
для любого элемента xn ∈ Xn

                      rn∗ 2 ≤ K(x∗ − xn )2 ≤ K · x∗ − xn 2 .

Выбирая в качестве xn ∈ Xn элемент наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для x∗ , из последнего неравенства находим

                                      rn∗ 2 ≤ K · EnT (x∗ )2 .                (2.17)

Из оценок (2.16) и (2.17) вытекает утверждение теоремы 2.5.

                                                  24

Страницы