Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть функция h
n
(s, σ) ∈ L
2
([0, 2π]
2
) является полиномом из IH
T
n
по переменной
s таким, что h − h
n
∞
= E
T
n
s
(h)
∞
.Тогда
E
T
n
(Hx
∗
)
∞
≤Hhx
∗
− Hh
n
x
∗
∞
= H[h − h
n
]x
∗
∞
≤
≤h − h
n
C
2π
×L
2
·x
∗
2
≤h − h
n
∞
·x
∗
2
= E
T
n
s
(h)
∞
·x
∗
2
.
Тогда, с учетом (2.12), имеем
E
T
n
(x
∗
)
∞
≤ E
T
n
(y)
∞
+ x
∗
2
· E
T
n
s
(h)
∞
.
Остальное очевидно.
Замечание. Полученные в следствии 2 теоремы 2.1 и следствии теоремы 2.3
оценки погрешности приближенных решений в пространствах L
2
и C
2π
соответствен-
но не могут быть улучшены по порядку. Этот факт можно вывести из уравнения (2.1)
при h(s, σ) ≡ 0 и результатов из теории приближения 2π–периодических функций
отрезком ряда Фурье.
2.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение уравнения (2.1) бу-
дем по–прежнему искать в виде тригонометрического полинома (2.2), а неизвестные
коэффициенты {α
k
} определим из условия минимальности невязки приближенного
решения по норме пространства L
2
:
2π
0
|Kx
n
(s) − y(s)|
2
ds =min. (2.13)
Учитывая необходимые условия экстремума, условие (2.13) дает СЛАУ (2n +1)–го
порядка относительно 2n +1коэффициентов α
k
полинома (2.2):
n
k=−n
β
kj
α
k
= y
j
,j= −n, n, (2.14)
где
β
kj
=
2π
0
K(e
iks
)K(e
−ijs
) ds, y
j
=
2π
0
y(s)K(e
−ijs
) ds. (2.15)
Для вычислительной схемы метода наименьших квадратов (2.1), (2.2), (2.14)–
(2.15) справедливы следующие результаты.
Теорема 2.4. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2
;
2) ядро h(s, σ) таково, что оператор H : L
2
−→ L
2
ограничен;
3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при данной правой части y(s).
Тогда СЛАУ (2.14)–(2.15) также имеет единственное решение {α
∗
k
} для всех
натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(s), построенные по формуле (2.2) при
α
k
= α
∗
k
,k= −n, n, обладают тем свойством, что невязка r
∗
n
(s) ≡ Kx
∗
n
(s) − y(s)
сходится к нулю в пространстве L
2
.
23
   Пусть функция hn (s, σ) ∈ L2 ([0, 2π]2 ) является полиномом из IH Tn по переменной
s таким, что h − hn ∞ = EnT s (h)∞ . Тогда

                    EnT (Hx∗ )∞ ≤ Hhx∗ − Hhn x∗ ∞ = H[h − hn ]x∗ ∞ ≤

              ≤ h − hn C2π ×L2 · x∗ 2 ≤ h − hn ∞ · x∗ 2 = EnT s (h)∞ · x∗ 2 .
Тогда, с учетом (2.12), имеем

                             EnT (x∗ )∞ ≤ EnT (y)∞ + x∗ 2 · EnT s (h)∞ .

Остальное очевидно.
   Замечание. Полученные в следствии 2 теоремы 2.1 и следствии теоремы 2.3
оценки погрешности приближенных решений в пространствах L2 и C2π соответствен-
но не могут быть улучшены по порядку. Этот факт можно вывести из уравнения (2.1)
при h(s, σ) ≡ 0 и результатов из теории приближения 2π–периодических функций
отрезком ряда Фурье.

   2.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение уравнения (2.1) бу-
дем по–прежнему искать в виде тригонометрического полинома (2.2), а неизвестные
коэффициенты {αk } определим из условия минимальности невязки приближенного
решения по норме пространства L2 :
                                     2π
                                        |Kxn (s) − y(s)|2 ds = min .                            (2.13)
                                     0

Учитывая необходимые условия экстремума, условие (2.13) дает СЛАУ (2n + 1)–го
порядка относительно 2n + 1 коэффициентов αk полинома (2.2):
                                         
                                         n
                                               βkj αk = yj , j = −n, n,                         (2.14)
                                     k=−n

где
                             2π                                      2π
                                                  −ijs
                     βkj =               iks
                                   K(e )K(e              ) ds, yj =         y(s)K(e−ijs ) ds.   (2.15)
                             0                                        0

    Для вычислительной схемы метода наименьших квадратов (2.1), (2.2), (2.14)–
(2.15) справедливы следующие результаты.

      Теорема 2.4. Пусть выполнены условия:
      1) y ∈ L2 ;
      2) ядро h(s, σ) таково, что оператор H : L2 −→ L2 ограничен;
      3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при данной правой части y(s).
   Тогда СЛАУ (2.14)–(2.15) также имеет единственное решение {αk∗ } для всех
натуральных n. Приближенные решения x∗n (s), построенные по формуле (2.2) при
αk = αk∗ , k = −n, n, обладают тем свойством, что невязка rn∗ (s) ≡ Kx∗n (s) − y(s)
сходится к нулю в пространстве L2 .

                                                          23

Страницы