Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Метод подобластей. На сегменте [0, 2π] выберем систему из 2n +2 точек
s
k
,k = 0, 2n +1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение
уравнения (2.1) будем искать снова в виде полинома (2.2), а его неизвестные ко-
эффициенты определим из условий
s
j+1
s
j
[Kx
n
(s) − y(s)] ds =0,j= 0, 2n. (2.18)
Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {α
k
} представляют СЛАУ вида
n
k=−n
β
kj
α
k
= y
j
,j= 0, 2n, (2.19)
где
β
kj
=
s
j+1
s
j
K(e
iks
) ds, y
j
=
s
j+1
s
j
y(s) ds. (2.20)
Для вычислительной схемы метода подобластей (2.1), (2.2), (2.19)–(2.20) имеют
место следующие результаты.
Теорема 2.6. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2
;
2) ядро h(s, σ) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L
2
;
3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при любой правой части из L
2
;
4) s
j
=
2jπ
2n +1
,j=
0, 2n +1. (2.21)
Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) также имеет единственное решение {α
∗
k
} хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(s),по-
строенные по формуле (2.2) при α
k
= α
∗
k
,k= −n, n, сходятся к точному решению
x
∗
(s) уравнения (2.1) в пространстве L
2
со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(x
∗
)
2
}. (2.22)
Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L
2
имеет
место соотношение
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
2
+ E
T
n
(Hx
∗
)
2
};
в частности, если h(s, σ) ∈ L
2
([0, 2π]
2
),то
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
2
+ E
T
n
s
(h)
2
}.
Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2
,гдеr ≥ 0 –
целое, а 0 <γ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
25
     2.3. Метод подобластей. На сегменте [0, 2π] выберем систему из 2n + 2 точек
sk , k = 0, 2n + 1, расположенных в порядке возрастания. Приближенное решение
уравнения (2.1) будем искать снова в виде полинома (2.2), а его неизвестные ко-
эффициенты определим из условий
                                
                                sj+1

                                   [Kxn (s) − y(s)] ds = 0, j = 0, 2n.      (2.18)
                               sj

Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {αk } представляют СЛАУ вида
                                       
                                       n
                                             βkj αk = yj , j = 0, 2n,       (2.19)
                                      k=−n

где
                                       
                                       sj+1                  
                                                             sj+1

                               βkj   =     K(eiks ) ds, yj =     y(s) ds.   (2.20)
                                       sj                      sj

   Для вычислительной схемы метода подобластей (2.1), (2.2), (2.19)–(2.20) имеют
место следующие результаты.

      Теорема 2.6. Пусть выполнены условия:
      1) y ∈ L2 ;
   2) ядро h(s, σ) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L2 ;
      3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при любой правой части из L2 ;
                 2jπ
      4) sj =          ,   j = 0, 2n + 1.                                   (2.21)
                2n + 1

    Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) также имеет единственное решение {αk∗ } хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (s), по-
строенные по формуле (2.2) при αk = αk∗ , k = −n, n, сходятся к точному решению
x∗ (s) уравнения (2.1) в пространстве L2 со скоростью
                                      x∗ − x∗n L2 = O{EnT (x∗ )2 }.       (2.22)

   Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L2 имеет
место соотношение
                     x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)2 + EnT (Hx∗ )2 };
в частности, если h(s, σ) ∈ L2 ([0, 2π]2 ), то
                               x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)2 + EnT s (h)2 }.

   Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r H2γ , где r ≥ 0 –
целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
                       x∗ − x∗n L2 = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

                                                     25

Страницы