Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Как отмечено в § 1, такой полином существует и единствен и определяется формулой
(1.11):
Π
n
(x ; s)=
d
ds
L
T
n
(z ; s)+
1
2 π
2 π
0
x (σ) dσ,
где функция z(s)=
s
0
x(σ) dσ −
s
2π
2π
0
x(σ) dσ.
Обозначив через P
n
= Π
n
, нетрудно показать, что СЛАУ (2.19)–(2.20) эквива-
лентна заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению (2.7). Поскольку
оператор P
n
здесь обладает такими же свойствами, что и соответствующий оператор
Фурье в методе Галеркина (см. леммы 7 и 8), то сформулированные выше теоремы
доказываются так же, как и теоремы 2.1 и 2.3.
Однако, здесь имеют место и другие результаты. Приведем лишь следующие две
теоремы.
Теорема 2.8. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
p
, 1 <p<∞;
2) h ∈ L
p
× L
q
,гдеq – сопряженное с p число;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение;
4) точки s
j
заданы формулой (2.21).
Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) имеет единственное решение {α
∗
k
} хотя бы при всех
n, начиная с некоторого. Приближенные решения x
∗
n
(s), построенные по формуле
(2.2) при α
k
= α
∗
k
,k= −n, n, сходятся к точному решению x
∗
(s) уравнения (2.1) в
пространстве L
p
со скоростью, определяемой любым из порядковых соотношений:
x
∗
− x
∗
n
L
p
= O{E
T
n
(x
∗
)
p
};(2.24)
x
∗
− x
∗
n
L
p
= O{E
T
n
(y)
p
+ E
T
n
s
(h)
p,q
}, (2.25)
где E
T
n
(z)
p
есть наилучшее приближение функции z ∈ L
p
тригонометрическими
полиномами из IH
T
n
,аE
T
n
s
(h)
p,q
– частное наилучшее приближение функции h(s, σ) ∈
L
p
× L
q
по переменной s тригонометрическими полиномами из IH
T
n
.
Теорема 2.9. Пусть выполнены условия:
1) функция y(s) удовлетворяет условию Дини–Липшица в пространстве L
1
;
2) ядро h ∈ L
1
× C
2π
удовлетворяет условию Дини–Липшица по переменной s;
3) уравнение (2.1) имеет единственное решение в пространстве L
1
;
4) точки s
j
определены формулой (2.21).
Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) при всех достаточно больших натуральных n также
имеет единственное решение {α
∗
k
}. Приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся в мет-
рике пространства L
1
к точному решению x
∗
(s) уравнения (2.1) со скоростями:
x
∗
− x
∗
n
L
1
= O{ln nE
T
n
(x
∗
)
1
};(2.26)
x
∗
− x
∗
n
L
1
= O{ln n · [E
T
n
(y)
1
+ E
T
n
s
(h)
1,∞
]}, (2.27)
27
Как отмечено в § 1, такой полином существует и единствен и определяется формулой
(1.11):
                                                    2 π
                                   d T           1
                       Πn (x ; s) = Ln (z ; s) +         x (σ) d σ,
                                   ds            2π
                                                             0
                     s                     2π
где функция z(s) =    0
                          x(σ) dσ −    s
                                      2π    0
                                                  x(σ) dσ.
   Обозначив через Pn = Πn , нетрудно показать, что СЛАУ (2.19)–(2.20) эквива-
лентна заданному в подпространстве Xn операторному уравнению (2.7). Поскольку
оператор Pn здесь обладает такими же свойствами, что и соответствующий оператор
Фурье в методе Галеркина (см. леммы 7 и 8), то сформулированные выше теоремы
доказываются так же, как и теоремы 2.1 и 2.3.
   Однако, здесь имеют место и другие результаты. Приведем лишь следующие две
теоремы.

   Теорема 2.8. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ Lp , 1 < p < ∞;
   2) h ∈ Lp × Lq , где q – сопряженное с p число;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение;
   4) точки sj заданы формулой (2.21).
    Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) имеет единственное решение {αk∗ } хотя бы при всех
n, начиная с некоторого. Приближенные решения x∗n (s), построенные по формуле
(2.2) при αk = αk∗ , k = −n, n, сходятся к точному решению x∗ (s) уравнения (2.1) в
пространстве Lp со скоростью, определяемой любым из порядковых соотношений:

                                x∗ − x∗n Lp = O{EnT (x∗ )p };                 (2.24)

                          x∗ − x∗n Lp = O{EnT (y)p + EnT s (h)p,q },          (2.25)
где EnT (z)p есть наилучшее приближение функции z ∈ Lp тригонометрическими
полиномами из IH Tn , а EnT s (h)p,q – частное наилучшее приближение функции h(s, σ) ∈
Lp × Lq по переменной s тригонометрическими полиномами из IH Tn .

   Теорема 2.9. Пусть выполнены условия:
   1) функция y(s) удовлетворяет условию Дини–Липшица в пространстве L1 ;
   2) ядро h ∈ L1 × C2π удовлетворяет условию Дини–Липшица по переменной s;
   3) уравнение (2.1) имеет единственное решение в пространстве L1 ;
   4) точки sj определены формулой (2.21).
   Тогда СЛАУ (2.19)–(2.20) при всех достаточно больших натуральных n также
имеет единственное решение {αk∗ }. Приближенные решения x∗n (s) сходятся в мет-
рике пространства L1 к точному решению x∗ (s) уравнения (2.1) со скоростями:

                              x∗ − x∗n L1 = O{ln n EnT (x∗ )1 };              (2.26)

                     x∗ − x∗n L1 = O{ln n · [EnT (y)1 + EnT s (h)1,∞ ]},      (2.27)

                                                    27

Страницы