Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. В пространстве X = Y = L
2
уравнение (2.1) запишем в виде
операторного уравнения (2.6), где оператор K, как и в методе Галеркина, в простран-
стве X имеет ограниченный обратный K
−1
.
Запишем систему (2.19), (2.29) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
T
n
,n∈ N, и пусть L
T
n
есть оператор Лагранжа
тригонометрического интерполирования по узлам (2.30). Тогда СЛАУ (2.19), (2.29)
эквивалентна заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению (2.7), где
P
n
= L
n
.
Покажем однозначную разрешимость уравнения (2.7). С этой целью возьмем про-
извольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
− K
n
x
n
. С учетом неравен-
ства Коши–Буняковского имеем
Kx
n
− K
n
x
n
= Hx
n
− P
n
Hx
n
= H[h − P
s
n
h]x
n
2
≤
≤h − P
s
n
h
2
·x
n
2
≤ 2P
n
C
2π
→L
2
· E
T
n
s
(h)
∞,2
x
n
2
.
Отсюда, используя лемму 5, находим
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ 2E
T
n
s
(h)
∞,2
→ 0,n→∞.
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (2.7) и эквивалентная ему СЛАУ (2.19),
(2.29) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых q
n
≡ ε
n
K
−1
<
1. Более того, из той же леммы 2.1 следует, что операторы K
−1
n
ограничены по норме
в совокупности.
Далее, для правых частей уравнений (2.6) и (2.7), с учетом леммы 6, имеем
δ
n
≡y − P
n
y
2
≤ 2E
T
n
(y)
∞
→ 0,n→∞,
что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью
x
∗
− x
∗
n
= O(ε
n
+ δ
n
)=O{E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞,2
}.
Для доказательства оценки (2.31) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. С учетом
лемм 5 и 6 имеем
x
∗
− x
∗
n
2
≤
1+K
−1
n
X
n
→X
n
·P
n
C
2π
→L
2
·H
L
2
→C
2π
x
∗
− P
n
x
∗
2
=
= O(x
∗
− P
n
x
∗
2
)=O(E
T
n
(x
∗
)
∞
).
Далее, следствие 1 вытекает из очевидного неравенства z
2
≤z
∞
,z∈ C
2π
.
Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве C
2π
(см.,
напр., в [15, 27, 28, 34]).
Теорема 2.11. В условиях теоремы 2.10 приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся
к точному решению x
∗
(s) в узлах коллокации (2.30) с быстротой
max
0≤k≤2n
|x
∗
(s
k
) − x
∗
n
(s
k
)| = O(x
∗
− x
∗
n
2
). (2.33)
29
   Доказательство. В пространстве X = Y = L2 уравнение (2.1) запишем в виде
операторного уравнения (2.6), где оператор K, как и в методе Галеркина, в простран-
стве X имеет ограниченный обратный K −1 .
   Запишем систему (2.19), (2.29) в операторной форме. Для этого в пространстве X
введем подпространства Xn = Yn = IH Tn , n ∈ N, и пусть LTn есть оператор Лагранжа
тригонометрического интерполирования по узлам (2.30). Тогда СЛАУ (2.19), (2.29)
эквивалентна заданному в подпространстве Xn операторному уравнению (2.7), где
Pn = Ln .
   Покажем однозначную разрешимость уравнения (2.7). С этой целью возьмем про-
извольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . С учетом неравен-
ства Коши–Буняковского имеем

              Kxn − Kn xn  = Hxn − Pn Hxn  = H[h − Pns h]xn 2 ≤

               ≤ h − Pns h2 · xn 2 ≤ 2Pn C2π →L2 · EnT s (h)∞,2 xn 2 .
Отсюда, используя лемму 5, находим

                  εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ 2EnT s (h)∞,2 → 0, n → ∞.

Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (2.7) и эквивалентная ему СЛАУ (2.19),
(2.29) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1  <
1. Более того, из той же леммы 2.1 следует, что операторы Kn−1 ограничены по норме
в совокупности.
   Далее, для правых частей уравнений (2.6) и (2.7), с учетом леммы 6, имеем

                      δn ≡ y − Pn y2 ≤ 2EnT (y)∞ → 0, n → ∞,

что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью
                x∗ − x∗n  = O(εn + δn ) = O{EnT (y)∞ + EnT s (h)∞,2 }.

   Для доказательства оценки (2.31) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. С учетом
лемм 5 и 6 имеем
                                                                
     x∗ − x∗n 2 ≤ 1 + Kn−1 Xn →Xn · Pn C2π →L2 · HL2 →C2π x∗ − Pn x∗ 2 =

                          = O(x∗ − Pn x∗ 2 ) = O(EnT (x∗ )∞ ).

   Далее, следствие 1 вытекает из очевидного неравенства z2 ≤ z∞ , z ∈ C2π .
   Следствие 2 доказывается с помощью теорем Джексона в пространстве C2π (см.,
напр., в [15, 27, 28, 34]).

   Теорема 2.11. В условиях теоремы 2.10 приближенные решения x∗n (s) сходятся
к точному решению x∗ (s) в узлах коллокации (2.30) с быстротой

                       max |x∗ (sk ) − x∗n (sk )| = O(x∗ − x∗n 2 ).            (2.33)
                      0≤k≤2n




                                             29

Страницы