Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

На этот вопрос мы здесь дадим положительный ответ, приведя всего один резуль-
тат.
Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде
x
n
∗
(s)=y(s) −
1
2π
2π
0
h(s, σ)x
∗
n
(σdσ, (2.36)
где x
∗
n
(σ) – решение, полученное методом коллокации (2.2), (2.19), (2.29).
Имеет место следующая
Теорема 2.14. В условиях теоремы 2.10 приближенные решения
x
n
∗
(s), постро-
енные по формуле (2.36), сходятся равномерно к точному решению x
∗
(s) уравнения
(2.1) со скоростью
x
∗
− x
n
∗
∞
= O
E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞,2
;(2.37)
в частности, если h ∈ C([−1, 1]
2
),то
x
∗
− x
n
∗
∞
= O
E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
.
В самом деле, в условиях теоремы 2.10 существует единственное решение x
∗
n
(s),
построенное методом коллокации (2.1), (2.2), (2.19), (2.29), а следовательно, суще-
ствует единственная функция
x
n
∗
(s) при всех натуральных n, начиная с некоторого.
Поэтому остается лишь доказать равномерную сходимость
x
∗
n
(s) к точному решению
x
∗
(s). Имеем
x
∗
− x
n
∗
∞
= Hx
∗
− Hx
∗
n
∞
≤h
∞,2
·x
∗
− x
∗
n
2
.
Поэтому, воспользовавшись оценкой (2.32) для погрешности x
∗
− x
∗
n
2
, получим
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞,2
.
Остальное очевидно.
2.5. Метод механических квадратур. Для всех рассмотренных выше прямых ме-
тодов (они, как известно, являются также проекционными методами) при реализации
соответствующих СЛАУ необходимо вычислять интегралы, что может вызвать опре-
деленные трудности. Поэтому эти методы могут оказаться не очень эффективными с
точки зрения реализации на практике. Этого недостатка лишен метод механических
квадратур, к рассмотрению которого мы и переходим.
Возьмем на сегменте 0, 2π] систему равноотстоящих точек
4)
s
k
=
2kπ
2n +1
,k=
0, 2n, (2.37)
4)
Результаты этого пункта сохраняются, если метод механических квадратур строится на основе
формулы прямоугольников, построенной по узлам
s
k
=
2kπ
2n +1
+
ω
2n +1
,k=
0, 2n, 0 <ω≤ π.
31
   На этот вопрос мы здесь дадим положительный ответ, приведя всего один резуль-
тат.
      Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде
                                                           2π
                                   ∗           1
                              xn (s) = y(s) −                    h(s, σ)x∗n (σ dσ,    (2.36)
                                              2π
                                                             0

где   x∗n (σ)   – решение, полученное методом коллокации (2.2), (2.19), (2.29).
      Имеет место следующая

    Теорема 2.14. В условиях теоремы 2.10 приближенные решения xn ∗ (s), постро-
енные по формуле (2.36), сходятся равномерно к точному решению x∗ (s) уравнения
(2.1) со скоростью
                                                             
                     x∗ − xn ∗ ∞ = O EnT (y)∞ + EnT s (h)∞,2 ;           (2.37)

в частности, если h ∈ C([−1, 1]2 ), то
                                                                                
                               ∗          ∗
                             x − xn ∞ = O En (y)∞ + En (h)∞ .
                                                           T             Ts




    В самом деле, в условиях теоремы 2.10 существует единственное решение x∗n (s),
построенное методом коллокации (2.1), (2.2), (2.19), (2.29), а следовательно, суще-
ствует единственная функция xn ∗ (s) при всех натуральных n, начиная с некоторого.
Поэтому остается лишь доказать равномерную сходимость x∗n (s) к точному решению
x∗ (s). Имеем
                      x∗ − xn ∗ ∞ = Hx∗ − Hx∗n ∞ ≤ h∞,2 · x∗ − x∗n 2 .
Поэтому, воспользовавшись оценкой (2.32) для погрешности x∗ − x∗n 2 , получим
                                                      
                       ∗   ∗
                     x − xn ∞ = O En (y)∞ + En (h)∞,2 .
                                       T         Ts



Остальное очевидно.

   2.5. Метод механических квадратур. Для всех рассмотренных выше прямых ме-
тодов (они, как известно, являются также проекционными методами) при реализации
соответствующих СЛАУ необходимо вычислять интегралы, что может вызвать опре-
деленные трудности. Поэтому эти методы могут оказаться не очень эффективными с
точки зрения реализации на практике. Этого недостатка лишен метод механических
квадратур, к рассмотрению которого мы и переходим.
      Возьмем на сегменте 0, 2π] систему равноотстоящих точек4)
                                                 2kπ
                                         sk =          ,         k = 0, 2n,           (2.37)
                                                2n + 1
  4)
    Результаты этого пункта сохраняются, если метод механических квадратур строится на основе
формулы прямоугольников, построенной по узлам
                                        2kπ     ω
                              sk =           +       , k = 0, 2n, 0 < ω ≤ π.
                                       2n + 1 2n + 1



                                                        31

Страницы