Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

формула (2.38) по узлам (2.37) является интерполяционной (см., напр., в [7, 24, 29]),
то
1
2π
2π
0
L
T
n
σ
(h(s, σ)x(σ)) dσ =
1
2n +1
2n
k=0
h(s, s
k
)x(s
k
),
где L
T
n
σ
означает применение оператора L
T
n
по переменной σ. Поэтому имеют место
равенства
x
n
(s
k
)+
1
2π
2π
0
L
T
n
σ
(h(s
k
,σ)x
n
(σ)) dσ = y(s
k
),x
n
(s
k
)=c
k
,k= 0, 2n.
Отсюда следует, что
P
n
x
n
+
1
2π
2π
0
P
σ
n
(h(s, σ)x
n
(σ)) dσ
= P
n
y,
где P
n
= L
T
n
. Учитывая проекционность оператора P
n
, окончательно получим
K
n
x
n
≡ x
n
+ P
n
HP
σ
n
(hx
n
)=P
n
y (x
n
∈ X
n
), (2.42)
где, как и выше,
(Hx)(s) ≡ (Hhx)(s)=
1
2π
2π
0
h(s, σ)x(σ) dσ.
Таким образом, мы показали эквивалентность СЛАУ (2.39) операторному уравнению
(2.42).
Покажем однозначную разрешимость уравнения (2.42). С этой целью возьмем
произвольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
−K
n
x
n
. С учетом нера-
венства Коши–Буняковского имеем
Kx
n
− K
n
x
n
= Hx
n
− P
n
HP
σ
n
(hx
n
)≤
≤Hx
n
− P
n
Hx
n
+ P
n
Hx
n
− P
n
HP
σ
n
(hx
n
)≡I
1
+ I
2
. (2.43)
Первое слагаемое в (2.43) оценивается так же, как и в методе коллокации:
I
1
= H[h − P
s
n
h]x
n
2
≤ 2E
T
n
s
(h)
∞
x
n
X
. (2.44)
Для оценки второго слагаемого I
2
воспользуемся тем фактом, что квадратурная фор-
мула левых прямоугольников (2.38) является формулой наивысшей тригонометриче-
ской степени точности (см., напр., в [7]). Следовательно, она точна для любого триго-
нометрического полинома порядка не выше 2n. Учитывая, что функция P
σ
n
(h)x
n
(σ)
по переменной σ является тригонометрическим полиномом порядка 2n, мы заклю-
чаем, что
HP
σ
n
(hx
n
)=H(P
σ
n
h)x
n
.
Поэтому для I
2
последовательно находим
I
2
= P
n
Hx
n
− P
n
HP
σ
n
(hx
n
)
2
≤Hx
n
− HP
σ
n
(hx
n
)
∞
=
33
формула (2.38) по узлам (2.37) является интерполяционной (см., напр., в [7, 24, 29]),
то
                   2π
                                               1 
                                                     2n
                 1
                       Ln (h(s, σ)x(σ)) dσ =
                        Tσ
                                                        h(s, sk )x(sk ),
                2π                           2n + 1 k=0
                      0

где Ln означает применение оператора LTn по переменной σ. Поэтому имеют место
     Tσ


равенства
                          2π
                      1
          xn (sk ) +            LTn σ (h(sk , σ)xn (σ)) dσ = y(sk ), xn (sk ) = ck , k = 0, 2n.
                     2π
                          0

Отсюда следует, что

                                             2π                         
                                          1
                          Pn        xn +            Pnσ (h(s, σ)xn (σ)) dσ = Pn y,
                                         2π
                                              0

где Pn = LTn . Учитывая проекционность оператора Pn , окончательно получим

                      Kn xn ≡ xn + Pn HPnσ (hxn ) = Pn y                   (xn ∈ Xn ),            (2.42)

где, как и выше,
                                                                2π
                                                1
                          (Hx)(s) ≡ (Hhx)(s) =                        h(s, σ)x(σ) dσ.
                                               2π
                                                                0

Таким образом, мы показали эквивалентность СЛАУ (2.39) операторному уравнению
(2.42).
   Покажем однозначную разрешимость уравнения (2.42). С этой целью возьмем
произвольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . С учетом нера-
венства Коши–Буняковского имеем

                          Kxn − Kn xn  = Hxn − Pn HPnσ (hxn ) ≤

                ≤ Hxn − Pn Hxn  + Pn Hxn − Pn HPnσ (hxn ) ≡ I1 + I2 .                         (2.43)

   Первое слагаемое в (2.43) оценивается так же, как и в методе коллокации:

                           I1 = H[h − Pns h]xn 2 ≤ 2EnT s (h)∞ xn X .                         (2.44)

Для оценки второго слагаемого I2 воспользуемся тем фактом, что квадратурная фор-
мула левых прямоугольников (2.38) является формулой наивысшей тригонометриче-
ской степени точности (см., напр., в [7]). Следовательно, она точна для любого триго-
нометрического полинома порядка не выше 2n. Учитывая, что функция Pnσ (h)xn (σ)
по переменной σ является тригонометрическим полиномом порядка 2n, мы заклю-
чаем, что
                              HPnσ (hxn ) = H(Pnσ h)xn .
Поэтому для I2 последовательно находим

               I2 = Pn Hxn − Pn HPnσ (hxn )2 ≤ Hxn − HPnσ (hxn )∞ =

                                                         33

Страницы