Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) y ∈ C
2π
;
2) функция h(s, σ) такова, что H : L
2
−→ L
2
вполне непрерывен и H : L
2
−→
C
2π
ограничен;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение.
Тогда при всех достаточно больших n СЛАУ (2.3)–(2.4) имеет единственное
решение {α
∗
k
}. Для погрешности приближенных решений в равномерной метрике
справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n · E
T
n
(x
∗
)
∞
}. (2.11)
Если h(s, σ) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C
2π
характеризуется соотношением
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n[E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
s
(h)
∞
]}. (2.11
)
Следствие. Пусть функции y(s) и h(s, σ) (по переменной s) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся равномерно к точ-
ному решению x
∗
(s) со скоростями (2.11) и (2.11
). В частности, при y ∈ W
r
H
γ
,h ∈
W
r
H
γ
(по переменной s), где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, скорость равномерной сходи-
мости приближенных решений к точному определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство. Прежде всего заметим, что мы находимся в условиях теоре-
мы 2.1, поэтому разрешиость СЛАУ (2.3)–(2.4) имеет место, хоты бы при достаточно
больших n. С другой стороны, в условиях теоремы 2.3 точное решение x
∗
(s) является
функцией непрерывной. Поэтому имеет смысл рассматривать погрешность прибли-
женных решений в равномерной метрике.
С учетом тождеств x
∗
≡ y − Hx
∗
,x
∗
n
≡ P
n
y − P
n
Hx
∗
n
, неравенства треугольника
для нормы, леммы 3 и теремы 2.1, имеем
x
∗
− x
∗
n
∞
≤x
∗
− P
n
x
∗
∞
+ P
n
x
∗
− x
∗
n
∞
≤
≤ 2P
n
C
2π
→C
2π
E
T
n
(x
∗
)
∞
+ P
n
Hx
∗
n
− P
n
Hx
∗
∞
≤
≤P
n
C
2π
→C
2π
{2E
T
n
(x
∗
)
∞
+ H
L
2
→C
2π
x
∗
− x
∗
n
2
} =
= O
ln n[E
T
n
(x
∗
)
∞
+ E
T
n
(x
∗
)
2
]
= O{ln nE
T
n
(x
∗
)
∞
}.
Для получения оценки (2.11
) заметим, что для точного решения x
∗
(s) имеет место
тождество x
∗
= y − Hx
∗
. Поэтому
E
T
n
(x
∗
)
∞
≤ E
T
n
(y)
∞
+ E
T
n
(Hx
∗
)
∞
. (2.12)
Далее, в условиях следствия точное решение x
∗
(s) удовлетворяет условию Дини–
Липшица. Поэтому из оценки (2.11) следует равномерная сходимость приближенных
решений к точному.
22
   1) y ∈ C2π ;
   2) функция h(s, σ) такова, что H : L2 −→ L2 вполне непрерывен и H : L2 −→
C2π ограничен;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет лишь три-
виальное решение.
   Тогда при всех достаточно больших n СЛАУ (2.3)–(2.4) имеет единственное
решение {αk∗ }. Для погрешности приближенных решений в равномерной метрике
справедлива следующая порядковая оценка

                             x∗ − x∗n ∞ = O{ln n · EnT (x∗ )∞ }.              (2.11)

Если h(s, σ) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C2π характеризуется соотношением

                       x∗ − x∗n ∞ = O{ln n[EnT (y)∞ + EnT s (h)∞ ]}.         (2.11 )

    Следствие. Пусть функции y(s) и h(s, σ) (по переменной s) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (s) сходятся равномерно к точ-
ному решению x∗ (s) со скоростями (2.11) и (2.11 ). В частности, при y ∈ W r Hγ , h ∈
W r Hγ (по переменной s), где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость равномерной сходи-
мости приближенных решений к точному определяется формулой
                                       ln n 
                     x∗ − x∗n ∞ = O r+γ , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                       n

   Доказательство. Прежде всего заметим, что мы находимся в условиях теоре-
мы 2.1, поэтому разрешиость СЛАУ (2.3)–(2.4) имеет место, хоты бы при достаточно
больших n. С другой стороны, в условиях теоремы 2.3 точное решение x∗ (s) является
функцией непрерывной. Поэтому имеет смысл рассматривать погрешность прибли-
женных решений в равномерной метрике.
   С учетом тождеств x∗ ≡ y − Hx∗ , x∗n ≡ Pn y − Pn Hx∗n , неравенства треугольника
для нормы, леммы 3 и теремы 2.1, имеем

                     x∗ − x∗n ∞ ≤ x∗ − Pn x∗ ∞ + Pn x∗ − x∗n ∞ ≤

                   ≤ 2Pn C2π →C2π EnT (x∗ )∞ + Pn Hx∗n − Pn Hx∗ ∞ ≤
                  ≤ Pn C2π →C2π {2EnT (x∗ )∞ + HL2 →C2π x∗ − x∗n 2 } =
                                                    
                   = O ln n[EnT (x∗ )∞ + EnT (x∗ )2 ] = O{ln n EnT (x∗ )∞ }.
Для получения оценки (2.11 ) заметим, что для точного решения x∗ (s) имеет место
тождество x∗ = y − Hx∗ . Поэтому

                            EnT (x∗ )∞ ≤ EnT (y)∞ + EnT (Hx∗ )∞ .               (2.12)

   Далее, в условиях следствия точное решение x∗ (s) удовлетворяет условию Дини–
Липшица. Поэтому из оценки (2.11) следует равномерная сходимость приближенных
решений к точному.

                                              22

Страницы