Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Далее, для правых частей уравнений (2.6) и (2.7) имеем
δ
n
≡y − P
n
y = E
T
n
(y)
2
→ 0,n→∞,
что с учетом той же леммы 1 доказывает сходимость приближенных решений к точ-
ному в пространстве X со скоростью
x
∗
− x
∗
n
= O(ε
n
+ δ
n
).
Для доказательства оценки (2.5) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Из нера-
венства (1.6), лемм 3 и 4 следует, что
x
∗
− x
∗
n
≤
1+K
−1
n
P
n
H
x
∗
− P
n
x
∗
2
= O(x
∗
− P
n
x
∗
2
)=O(E
T
n
(x
∗
)
2
).
Теорема 2.1 доказана.
Далее, следствие 1 доказывается с использованием тождества x
∗
≡ y − Hx
∗
и
известного неравенства для наилучших приближений E
T
n
(x + y)
2
≤ E
T
n
(x)
2
+ E
T
n
(y)
2
,
справедливого для любых x, y ∈ L
2
. Если же функция h(s, σ) ∈ L
2
([0, 2π]
2
), то, обо-
значив через h
n
(s, σ) квадратично–суммируемую функцию, являющуюся тригоно-
метрическим полиномом порядка n наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для функции h(s, σ) по переменной s, с учетом неравенства Коши–Буняковского
будем иметь:
E
T
n
(Hx
∗
)
2
2
≤Hhx
∗
− Hh
n
x
∗
2
2
=
=
1
2π
2π
0
1
2π
2π
0
[h(s, σ) − h
n
(s, σ)]x
∗
(σ) dσ
2
ds ≤
≤
1
4π
2
2π
0
2π
0
|h(s, σ) − h
n
(s, σ)|
2
dσ ds ·
1
2π
2π
0
|x
∗
(σ)|
2
dσ =
= h − h
n
2
2
·x
∗
2
2
= E
T
n
s
(h)
2
2
·x
∗
2
2
.
Следствие 2 доказывается с помощью прямых теорем конструктивной теории
функций (теорем Джексона) в пространстве L
2
(см., напр., в [39, 27, 28]).
Теорема 2.2. Пусть известные функции h и y таковы, что точное решение
x
∗
∈ C
2π
. Тогда, в условиях теоремы 2.1, для погрешности приближенных решений
в пространстве C
2π
имеет место порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
√
n
∞
k=1
2
k/2
{E
T
2
k
n
(x
∗
)
2
+ E
T
2
k−1
n
(x
∗
)
2
}
.
Следствие. Пусть решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2
,где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, причем
r + γ>1/2. Тогда приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся к точному решению x
∗
(s)
равномерно с быстротой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
n
−r−γ+1/2
.
20
   Далее, для правых частей уравнений (2.6) и (2.7) имеем

                          δn ≡ y − Pn y = EnT (y)2 → 0, n → ∞,

что с учетом той же леммы 1 доказывает сходимость приближенных решений к точ-
ному в пространстве X со скоростью

                                         x∗ − x∗n  = O(εn + δn ).

   Для доказательства оценки (2.5) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Из нера-
венства (1.6), лемм 3 и 4 следует, что
                                    
  x∗ − x∗n  ≤ 1 + Kn−1  Pn  H x∗ − Pn x∗ 2 = O(x∗ − Pn x∗ 2 ) = O(EnT (x∗ )2 ).

   Теорема 2.1 доказана.
   Далее, следствие 1 доказывается с использованием тождества x∗ ≡ y − Hx∗ и
известного неравенства для наилучших приближений EnT (x + y)2 ≤ EnT (x)2 + EnT (y)2 ,
справедливого для любых x, y ∈ L2 . Если же функция h(s, σ) ∈ L2 ([0, 2π]2 ), то, обо-
значив через hn (s, σ) квадратично–суммируемую функцию, являющуюся тригоно-
метрическим полиномом порядка n наилучшего среднеквадратического приближе-
ния для функции h(s, σ) по переменной s, с учетом неравенства Коши–Буняковского
будем иметь:
                          EnT (Hx∗ )22 ≤ Hhx∗ − Hhn x∗ 22 =
                                                                          2
                             2π         2π
                         1           1
                      =                     [h(s, σ) − hn (s, σ)]x∗ (σ) dσ ds ≤
                        2π          2π
                              0          0

                        2π2π                                                  2π
                  1                                               1
                ≤ 2               |h(s, σ) − hn (s, σ)|2 dσ ds ·                      |x∗ (σ)|2 dσ =
                 4π                                              2π
                        0 0                                                     0

                          = h −         hn 22   ·   x∗ 22   =   En (h)22
                                                                     Ts
                                                                               · x∗ 22 .

  Следствие 2 доказывается с помощью прямых теорем конструктивной теории
функций (теорем Джексона) в пространстве L2 (см., напр., в [39, 27, 28]).

   Теорема 2.2. Пусть известные функции h и y таковы, что точное решение
x∗ ∈ C2π . Тогда, в условиях теоремы 2.1, для погрешности приближенных решений
в пространстве C2π имеет место порядковая оценка
                                    √ 
                                       ∞                                        
                  ∗
                x −   x∗n ∞     =O n   2k/2 {E2Tk n (x∗ )2 + E2Tk−1 n (x∗ )2 } .
                                                  k=1



   Следствие. Пусть решение x∗ ∈ W r H2γ , где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, причем
r + γ > 1/2. Тогда приближенные решения x∗n (s) сходятся к точному решению x∗ (s)
равномерно с быстротой
                                                    
                            ∗    ∗          −r−γ+1/2
                          x − xn ∞ = O n             .

                                                           20

Страницы