Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Так как мы находимся в условиях теоремы 2.1, то для погреш-
ности приближенных решений справедливо представление
x
∗
(s) − x
∗
n
(s)=
∞
k=1
x
∗
2
k
n
(s) − x
∗
2
k−1
n
(s)
.
Отсюда, используя неравенство (см., напр., в [15]) Q
n
∞
≤
√
2n +1Q
n
2
, спра-
ведливого для любого Q
n
∈ IH
T
n
, следует, что
x
∗
(s) − x
∗
n
(s)
∞
≤
∞
k=1
x
∗
2
k
n
(s) − x
∗
2
k−1
n
(s)
∞
≤
≤
∞
k=1
2
k+1
n +1
x
∗
2
k
n
(s) − x
∗
2
k−1
n
(s)
2
.
Вычитая и прибавляя под зн´аком нормы точное решение x
∗
(s) и применяя неравен-
ство треугольника, с учетом теоремы 2.1 находим
x
∗
(s) − x
∗
n
(s)
∞
= O
∞
k=1
√
2
k
n
E
T
2
k
n
(x
∗
)
2
+ E
T
2
k−1
n
(x
∗
)
2
. (2.9)
Далее, в условиях следствия E
T
n
(x
∗
)
2
= O(n
−r−γ
); поэтому оценку (2.9) можно
продолжить:
x
∗
(s) − x
∗
n
(s)
∞
= O
∞
k=1
√
2
k
n
(2
k
n)
−r−γ
+(2
k−1
n)
−r−γ
=
= O
n
−r−γ+1/2
∞
k=1
2
k/2
· 2
−k(r+γ)
= O
n
−r−γ+1/2
∞
k=1
1
2
k(r+γ−1/2)
. (2.10)
Очевидно, при r + γ>1/2 ряд
∞
k=1
1
2
k(r+γ−1/2)
сходится и поэтому из (2.10) получим утверждение следствия. Тем самым, теорема
2.2 доказана полностью.
В связи с доказанной теоремой 2.2 возникает вопрос: является ли окончатель-
ной скорость равномерной сходимости приближенных решений к точному решению,
указанная в следствии к этой теореме? Ответ на данный вопрос отрицателен хо-
тя бы потому, что при h(t, s) ≡ 0 приближенное решение определяется по формуле
x
∗
n
(s)=S
n
(y; s). Поэтому, учитывая лемму 4, имеем
x
∗
− x
∗
n
∞
= y − S
n
y
∞
O
ln n · E
T
n
(y)
∞
.
Поэтому приведем здесь для метода Галеркина еще один результат.
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия:
21
   Доказательство. Так как мы находимся в условиях теоремы 2.1, то для погреш-
ности приближенных решений справедливо представление
                                                   ∞ 
                                                                                 
                          ∗
                         x (s) −     x∗n (s)   =         x∗2k n (s) − x∗2k−1 n (s) .
                                                   k=1
                                                                                          √
Отсюда, используя неравенство (см., напр., в [15]) Qn ∞ ≤                                   2n + 1 Qn 2 , спра-
ведливого для любого Qn ∈ IH Tn , следует, что
                                                 ∞ 
                                                                           
                     ∗                              ∗                      
                  x (s) −       x∗n (s)∞     ≤   x2k n (s) − x∗2k−1 n (s)             ≤
                                                                                      ∞
                                                   k=1

                              
                              ∞                                          
                                                                         
                         ≤           2k+1 n + 1 x∗2k n (s) − x∗2k−1 n (s) .
                                                                                  2
                               k=1

Вычитая и прибавляя под зна́ком нормы точное решение x∗ (s) и применяя неравен-
ство треугольника, с учетом теоремы 2.1 находим
                                    ∞                                        
                                     √                                    
            x∗ (s) − x∗n (s)∞ = O     2k n E2Tk n (x∗ )2 + E2Tk−1 n (x∗ )2 .  (2.9)
                                               k=1


   Далее, в условиях следствия EnT (x∗ )2 = O(n−r−γ ); поэтому оценку (2.9) можно
продолжить:
                                  ∞                                     
                                   √                                 
          x∗ (s) − x∗n (s)∞ = O       2k n (2k n)−r−γ + (2k−1 n)−r−γ     =
                                           k=1
                                                                                                
                      
                      ∞                                                     
                                                                            ∞
                                                                                          1
      = O n−r−γ+1/2            2k/2 · 2−k(r+γ)         =O       n−r−γ+1/2                              .    (2.10)
                         k=1                                                k=1
                                                                                  2k(r+γ−1/2)
Очевидно, при r + γ > 1/2 ряд
                                               
                                               ∞
                                                            1
                                               k=1
                                                     2k(r+γ−1/2)
сходится и поэтому из (2.10) получим утверждение следствия. Тем самым, теорема
2.2 доказана полностью.
     В связи с доказанной теоремой 2.2 возникает вопрос: является ли окончатель-
ной скорость равномерной сходимости приближенных решений к точному решению,
указанная в следствии к этой теореме? Ответ на данный вопрос отрицателен хо-
тя бы потому, что при h(t, s) ≡ 0 приближенное решение определяется по формуле
x∗n (s) = Sn (y; s). Поэтому, учитывая лемму 4, имеем
                                                                    
                         x∗ − x∗n ∞ = y − Sn y∞ O ln n · EnT (y)∞ .

Поэтому приведем здесь для метода Галеркина еще один результат.

   Теорема 2.3. Пусть выполнены условия:

                                                       21

Страницы