Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Запишем теперь систему (2.3)–(2.4) в операторной форме. Для этого в простран-
стве X введем подпространства X
n
= Y
n
= IH
T
n
,n∈ N.ПустьS
n
есть оператор Фурье
n–го порядка, т.е. он каждую функцию z ∈ X переводит в (2n +1)–ый отрезок ряда
Фурье по тригонометрической системе функций e
iks
,k = −n, n:
S
n
(z; s)=
1
π
2π
0
z(σ)D
n
(s − σ) dσ =
n
k=−n
c
k
(z)e
iks
,z∈ X,
где D
n
(s)=
sin
2n+1
2
s
2sin
s
2
есть ядро Дирихле n–го порядка, а c
k
(z)=
1
2π
2π
0
x(σ)e
−ikσ
dσ –
коэффициенты Фурье функции z.
Покажем, что СЛАУ (2.3)–(2.4) эквивалентна заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению
K
n
x
n
≡ x
n
+ P
n
Hx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
), (2.7)
где P
n
= S
n
.
Здесь (и далее) эквивалентность СЛАУ (2.3)–(2.4) и операторного уравнения (2.7)
понимается в следующем смысле: СЛАУ и операторное уравнение одновременно раз-
решимы или неразрешимы и, в случае разрешимости, их решения связаны форму-
лой (2.2).
В самом деле, СЛАУ (2.3)–(2.4) эквивалентна условиям совпадения коэффициен-
тов Фурье функций (Kx
n
)(s) и y(s). Но, очевидно, коэффициенты Фурье функции
однозначно определяют (2n +1)–ый отрезок ее ряда Фурье. Поэтому (2n +1)–ые
отрезки ряда Фурье функций (Kx
n
)(s) и y(s) совпадают, что дает эквивалентность
СЛАУ (2.3)–(2.4) и уравнения (2.7), если учесть проекционность оператора Фурье
(S
2
n
= S
n
).
Таким образом, нам достаточно доказать однозначную разрешимость уравнения
(2.7). С этой целью возьмем произвольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность
Kx
n
− K
n
x
n
. Обозначив через z
n
= x
n
/x
n
(x
n
=0), имеем
Kx
n
− K
n
x
n
= Hx
n
− P
n
Hx
n
= x
n
·Hz
n
− P
n
Hz
n
≤
≤x
n
·sup
z∈V
Hz − P
n
Hz, (2.8)
где V есть единичный шар с центром в нуле пространства X. Поскольку по условию
оператор H вполне непрерывен, то он множество V ⊂ X переводит в компактное
множество пространства X. На таком множестве по теореме Гельфанда (см., напр.,
в [22, 23]) сильно сходящаяся последовательность операторов сходится равномерно.
Тогда из (2.8) следует, что
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ sup
g∈HV
g − P
n
g→0,n→∞.
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (2.7) и эквивалентная ему СЛАУ (2.3)–
(2.4) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых q
n
≡ ε
n
K
−1
< 1.
Более того, операторы K
−1
n
ограничены по норме в совокупности.
19
   Запишем теперь систему (2.3)–(2.4) в операторной форме. Для этого в простран-
стве X введем подпространства Xn = Yn = IH Tn , n ∈ N. Пусть Sn есть оператор Фурье
n–го порядка, т.е. он каждую функцию z ∈ X переводит в (2n + 1)–ый отрезок ряда
Фурье по тригонометрической системе функций eiks , k = −n, n:

                                    2π                         
                                                                n
                              1
                  Sn (z; s) =             z(σ)Dn (s − σ) dσ =          ck (z)eiks , z ∈ X,
                              π                                 k=−n
                                    0


                sin 2n+1   s                                                           1
                                                                                           2π
где Dn (s) =           2
                  2 sin 2s
                               есть ядро Дирихле n–го порядка, а ck (z) =             2π
                                                                                                 x(σ)e−ikσ dσ –
                                                                                           0
коэффициенты Фурье функции z.
   Покажем, что СЛАУ (2.3)–(2.4) эквивалентна заданному в подпространстве Xn
операторному уравнению

                                Kn xn ≡ xn + Pn Hxn = Pn y        (xn ∈ Xn ),                             (2.7)

где Pn = Sn .
Здесь (и далее) эквивалентность СЛАУ (2.3)–(2.4) и операторного уравнения (2.7)
понимается в следующем смысле: СЛАУ и операторное уравнение одновременно раз-
решимы или неразрешимы и, в случае разрешимости, их решения связаны форму-
лой (2.2).
    В самом деле, СЛАУ (2.3)–(2.4) эквивалентна условиям совпадения коэффициен-
тов Фурье функций (Kxn )(s) и y(s). Но, очевидно, коэффициенты Фурье функции
однозначно определяют (2n + 1)–ый отрезок ее ряда Фурье. Поэтому (2n + 1)–ые
отрезки ряда Фурье функций (Kxn )(s) и y(s) совпадают, что дает эквивалентность
СЛАУ (2.3)–(2.4) и уравнения (2.7), если учесть проекционность оператора Фурье
(Sn2 = Sn ).
    Таким образом, нам достаточно доказать однозначную разрешимость уравнения
(2.7). С этой целью возьмем произвольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность
Kxn − Kn xn . Обозначив через zn = xn /xn  (xn = 0), имеем

            Kxn − Kn xn  = Hxn − Pn Hxn  = xn  · Hzn − Pn Hzn  ≤

                                        ≤ xn  · sup Hz − Pn Hz,                                       (2.8)
                                                  z∈V

где V есть единичный шар с центром в нуле пространства X. Поскольку по условию
оператор H вполне непрерывен, то он множество V ⊂ X переводит в компактное
множество пространства X. На таком множестве по теореме Гельфанда (см., напр.,
в [22, 23]) сильно сходящаяся последовательность операторов сходится равномерно.
Тогда из (2.8) следует, что

                     εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ sup g − Pn g → 0, n → ∞.
                                                    g∈HV


Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (2.7) и эквивалентная ему СЛАУ (2.3)–
(2.4) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1  < 1.
Более того, операторы Kn−1 ограничены по норме в совокупности.

                                                        19

Страницы