Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 19. Если сетка Δ
n
удовлетворяет условию (1.17), то для любой функ-
ции x ∈ L
p
, 1 ≤ p ≤∞,
x − U
0
n
x
p
≤ (2β)
1/p
ω(x; Δ
n
)
p
, 1 ≤ p ≤∞.
§2. Прямые методы решения интегральных
уравнений. Периодический случай
В этом параграфе мы дадим обоснование ряда прямых методов решения инте-
грального уравнения Фредгольма второго рода
Kx ≡ x(s)+
1
2π
2π
0
h(s, σ) dσ = y(s), −∞ <s<∞, (2.1)
где
3)
2π–периодические функции h(s, σ) и y(s) – известные, а x(s) – искомая.
2.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в
виде тригонометрического полинома порядка n, n ∈ N, представленного в комплекс-
ной форме:
x
n
(s)=
n
k=−n
α
k
e
iks
,i
2
= −1, (2.2)
а неизвестные коэффициенты {α
k
} определим из условий ортогональности невязки
приближенного решения к функциям вида e
−ijs
,j = −n, n:
2π
0
[(Kx
n
)(s) − y(s)] e
−ijs
ds =0,j= −n, n.
Эти условия дают систему линейных алгебраических уравнений (кратко: СЛАУ)
(2n +1)–го порядка относительно 2n +1коэффициентов α
k
полинома (2.2):
n
k=−n
β
kj
α
k
= y
j
,j= −n, n, (2.3)
где
β
kj
=
2π
0
K(e
iks
)e
−ijs
ds, y
j
=
2π
0
y(s)e
−ijs
ds. (2.4)
Для вычислительной схемы метода Галеркина (2.1)–(2.4) имеет место
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2
;
2) ядро h(s, σ) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L
2
;
3)
Приведенные в этом пункте результаты переносятся на случай периодических интегральных
уравнений второго рода с любым периодом.
17
   Лемма 19. Если сетка Δn удовлетворяет условию (1.17), то для любой функ-
ции x ∈ Lp , 1 ≤ p ≤ ∞,

                        x − Un0 xp ≤ (2β)1/p ω(x; Δn )p , 1 ≤ p ≤ ∞.

                     §2. Прямые методы решения интегральных
                          уравнений. Периодический случай

   В этом параграфе мы дадим обоснование ряда прямых методов решения инте-
грального уравнения Фредгольма второго рода
                                           2π
                                  1
                     Kx ≡ x(s) +                  h(s, σ) dσ = y(s), −∞ < s < ∞,           (2.1)
                                 2π
                                            0

      3)
где        2π–периодические функции h(s, σ) и y(s) – известные, а x(s) – искомая.

   2.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в
виде тригонометрического полинома порядка n, n ∈ N, представленного в комплекс-
ной форме:
                                   
                                   n
                          xn (s) =   αk eiks , i2 = −1,                   (2.2)
                                                  k=−n

а неизвестные коэффициенты {αk } определим из условий ортогональности невязки
приближенного решения к функциям вида e−ijs , j = −n, n:
                          2π
                             [(Kxn )(s) − y(s)] e−ijs ds = 0, j = −n, n.
                          0

Эти условия дают систему линейных алгебраических уравнений (кратко: СЛАУ)
(2n + 1)–го порядка относительно 2n + 1 коэффициентов αk полинома (2.2):
                                       
                                       n
                                            βkj αk = yj , j = −n, n,                       (2.3)
                                     k=−n

где
                                 2π                                 2π
                                                   −ijs
                         βkj =              iks
                                       K(e )e             ds, yj =         y(s)e−ijs ds.   (2.4)
                                 0                                   0

      Для вычислительной схемы метода Галеркина (2.1)–(2.4) имеет место

      Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:
      1) y ∈ L2 ;
   2) ядро h(s, σ) таково, что порождаемый им интегральный оператор вполне
непрерывен в пространстве L2 ;
  3)
     Приведенные в этом пункте результаты переносятся на случай периодических интегральных
уравнений второго рода с любым периодом.


                                                          17

Страницы