Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 16. Пусть m =0или m =1. Тогда для любой функции x ∈ C
(r)
[−1, 1] (r =
0,m) справедливы соотношения:
S
m
n
C→Z
=1, x
(i)
− (S
m
n
x)
(i)
Z
≤
Δ
n
4
r−i
ω(x
(r)
; Δ
n
), 0 ≤ i ≤ r.
Следствие 1. Для любого n ≥ 2 справедливо неравенство
E
m
n
(x) ≤
Δ
n
/4
r
ω(x
(r)
; Δ
n
), 0 ≤ r ≤ m, m =0, 1.
Следствие 2. Для интерполяционного сплайна S
m
n
(x; t) степени m (m =0или
m =1)имеет место неравенство
x − S
m
n
x
Z
≤ 2 E
m
n
(x).
Далее, для произвольной функции x ∈ C[−1, 1] введем в рассмотрение сплайн–
функцию U
0
n
(x; t) нулевой степени с узлами из Δ
n
, которые в точках интерполяции
принимают средние значения:
U
0
n
(x; t
j
)=Φ
j
(x),j= 1,n,
где
Φ
j
(x)=
1
t
j
− t
j−1
t
j
t
j−1
x(τ) dτ.
Лемма 17. Для любой функции x ∈ C
U
0
n
C→M
=1, x − U
0
n
x
M
≤ ω(x; Δ
n
).
Заметим, что "усредненные"сплайны имеют смысл и в случае суммируемой функ-
ции x(t). В следующих леммах даются аппроксимативные свойства таких сплайнов
в пространствах L
p
≡ L
p
(−1, 1), 1 ≤ p<∞. Для произвольной функции x ∈ L
p
, 1 ≤
p<∞, обозначим через E
0
n
(x)
p
ее наилучшее приближение в пространстве L
p
сплай-
нами нулевой степени на сетке (1.16), а через ω(x; δ)
p
– модуль непрерывности x ∈ L
p
с шагом δ,т.е.
ω(x; δ)
p
=sup
0<η≤δ
1−η
−1
|x(t + η) − x(t)|
p
dt
1/p
, 0 <δ≤ 2.
Лемма 18. Оператор U
0
n
обладает свойством:
U
0
n
L
p
→L
p
=1,n=1, 2,..., 1 ≤ p<∞.
Следствие. Для произвольной функции x ∈ L
p
сплайн U
0
n
(x; t) сходится к x(t)
в пространстве L
p
(−1, 1) со скоростью
x − U
0
n
x
p
≤ 2 E
0
n
(x)
p
, 1 ≤ p<∞.
16
    Лемма 16. Пусть m = 0 или m = 1. Тогда для любой функции x ∈ C (r) [−1, 1] (r =
0, m) справедливы соотношения:
                                                                     r−i
                                                         Δn 
        Snm C→Z = 1,    x(i) − (Snm x)(i) Z ≤                          ω(x(r) ; Δn ), 0 ≤ i ≤ r.
                                                          4

      Следствие 1. Для любого n ≥ 2 справедливо неравенство
                               r
               Enm (x) ≤ Δn /4 ω(x(r) ; Δn ), 0 ≤ r ≤ m, m = 0, 1.

  Следствие 2. Для интерполяционного сплайна Snm (x; t) степени m (m = 0 или
m = 1) имеет место неравенство

                                     x − Snm xZ ≤ 2 Enm (x).

   Далее, для произвольной функции x ∈ C[−1, 1] введем в рассмотрение сплайн–
функцию Un0 (x; t) нулевой степени с узлами из Δn , которые в точках интерполяции
принимают средние значения:

                                   Un0 (x; tj ) = Φj (x),     j = 1, n,

где                                                         tj
                                             1
                                Φj (x) =                           x(τ ) dτ.
                                         tj − tj−1          tj−1


      Лемма 17. Для любой функции x ∈ C

                         Un0 C→M = 1,         x − Un0 xM ≤ ω(x; Δn ).

   Заметим, что "усредненные"сплайны имеют смысл и в случае суммируемой функ-
ции x(t). В следующих леммах даются аппроксимативные свойства таких сплайнов
в пространствах Lp ≡ Lp (−1, 1), 1 ≤ p < ∞. Для произвольной функции x ∈ Lp , 1 ≤
p < ∞, обозначим через En0 (x)p ее наилучшее приближение в пространстве Lp сплай-
нами нулевой степени на сетке (1.16), а через ω(x; δ)p – модуль непрерывности x ∈ Lp
с шагом δ, т.е.
                                      1−η                       1/p
               ω(x; δ)p = sup                 |x(t + η) − x(t)| dt  p
                                                                       ,           0 < δ ≤ 2.
                           0<η≤δ      −1



      Лемма 18. Оператор Un0 обладает свойством:

                         Un0 Lp →Lp = 1,       n = 1, 2, . . . , 1 ≤ p < ∞.

   Следствие. Для произвольной функции x ∈ Lp сплайн Un0 (x; t) сходится к x(t)
в пространстве Lp (−1, 1) со скоростью

                            x − Un0 xp ≤ 2 En0 (x)p ,            1 ≤ p < ∞.

                                                    16

Страницы