Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. В случае любой из систем узлов (1.14) и (1.15) для любой функции
x ∈ C многочлены Π
n
(x ; t) сходятся в L
2,ρ
со скоростью
x − Π
n
x
L
2 ,ρ
≤
√
π
π +
√
π
2
E
n−1
(x )
C
,ρ(t)=
√
1 − t
2
, n ∈ N.
Лемма 14. Если узлы заданы формулой (1.15), то для погрешности приближен-
ной формулы x(t) ≈ Π
n
(x ; t) справедливы следующие оценки:
E
n−1
(x)
2,ρ
≤x − Π
n
x
L
2 ,ρ
≤
π
2
E
n−1
(x )
2 ,ρ
,ρ(t)=
√
1 − t
2
, x ∈ L
2 ,ρ
, n ∈ N;
x − Π
n
x
C
≤ 2 ln(ne) · E
n−1
(x )
C
, x ∈ C , n ∈ N.
Следствие 1. Для любых n ∈ N операторы Π
n
обладают свойствами:
1 ≤Π
n
L
2 ,ρ
→L
2 ,ρ
≤
π
2
,ρ(t)=
√
1 − t
2
;
Π
n
C
2 π
→C
2 π
≤ 3 + 2 ln n.
Следствие 2. Если функция x ∈ C удовлетворяет условию Дини–Липшица, то
многочлены Π
n
(x ; t) сходятся равномерно со скоростью
x − Π
n
x
C
= O{E
n−1
(x )
C
ln n}.
В заключение этого пункта укажем еще одно свойство оператора Π
n
(см., напр., в
[1]). Обозначим через L
1
≡ L
1
(−1, 1) пространство функций, суммируемых по Лебегу
в промежутке (−1, 1). Норму в этом пространстве введем обычным образом:
x
1
≡x
L
1
(−1,1)
=
+1
−1
|x(t)|dt, x ∈ L
1
(−1, 1).
Лемма 15. Для оператора Π
n
, построенного по системе узлов (1.15), справед-
лива оценка
P
n
L
1
→L
1
≤ 16 ln n + O(1),n≥ 2.
Следствие. Многочлены Π
n
(x ; t) сходятся в пространстве L
1
к функции x ∈ L
1
со скоростью
x − Π
n
x
1
= O(ln nE
n−1
(x )
1
),
где E
n−1
(x)
1
– наилучшее приближение функции x(t) в пространстве L
1
(−1, 1) мно-
гочленами из IH
n−1
.
1.3. Аппроксимативные свойства полиномиальных
сплайнов минимальных степеней
В этом пункте приведем лишь некоторые результаты из теории сплайнов нулевой
и первой степеней.
14
   Следствие. В случае любой из систем узлов (1.14) и (1.15) для любой функции
x ∈ C многочлены Πn (x ; t) сходятся в L2,ρ со скоростью
                                    √ 
                           √         π                     √
         x − Πn x L2 ,ρ ≤ π π +        En−1 (x )C , ρ(t) = 1 − t 2 , n ∈ N.
                                    2

   Лемма 14. Если узлы заданы формулой (1.15), то для погрешности приближен-
ной формулы x(t) ≈ Πn (x ; t) справедливы следующие оценки:
                                      π                            √
   En−1 (x)2,ρ ≤ x − Πn x L2 ,ρ ≤     En−1 (x )2 ,ρ ,   ρ(t) =       1 − t 2 , x ∈ L2 ,ρ , n ∈ N;
                                      2
                 x − Πn x C ≤ 2 ln(ne) · En−1 (x )C ,        x ∈ C , n ∈ N.

   Следствие 1. Для любых n ∈ N операторы Πn обладают свойствами:
                                                   π         √
                        1 ≤ Πn L2 ,ρ →L2 ,ρ ≤      , ρ(t) = 1 − t 2 ;
                                                   2
                                Πn C2 π →C2 π ≤ 3 + 2 ln n.

   Следствие 2. Если функция x ∈ C удовлетворяет условию Дини–Липшица, то
многочлены Πn (x ; t) сходятся равномерно со скоростью

                           x − Πn x C = O{En−1 (x )C ln n}.

    В заключение этого пункта укажем еще одно свойство оператора Πn (см., напр., в
[1]). Обозначим через L1 ≡ L1 (−1, 1) пространство функций, суммируемых по Лебегу
в промежутке (−1, 1). Норму в этом пространстве введем обычным образом:

                                             +1
                    x1 ≡ xL1 (−1,1)     = |x(t)| dt, x ∈ L1 (−1, 1).
                                              −1



   Лемма 15. Для оператора Πn , построенного по системе узлов (1.15), справед-
лива оценка
                    Pn L1 →L1 ≤ 16 ln n + O(1), n ≥ 2.

    Следствие. Многочлены Πn (x ; t) сходятся в пространстве L1 к функции x ∈ L1
со скоростью
                       x − Πn x 1 = O(ln n En−1 (x )1 ),
где En−1 (x)1 – наилучшее приближение функции x(t) в пространстве L1 (−1, 1) мно-
гочленами из IH n−1 .
                1.3. Аппроксимативные свойства полиномиальных
                        сплайнов минимальных степеней
   В этом пункте приведем лишь некоторые результаты из теории сплайнов нулевой
и первой степеней.


                                                14

Страницы