Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. Пусть функция x ∈ W
r
H
α
2,ρ
,гдеr ≥ 0 – целое, 0 <α≤ 1. Тогда ско-
рость сходимости отрезка ряда Фурье к самой функции характеризуется порядковым
соотношением
x −S
n
x
L
2,ρ
= O(n
−r−α
),r≥ 0, 0 <α≤ 1.
В случае, когда весовая функция ρ(t) является весом Чебышева первого или вто-
рого рода, имеет место также (см., напр., в [34, 15, 28, 9])
Лемма 10. Пусть ρ(t)=1/
√
1 − t
2
или ρ(t)=
√
1 − t
2
. Тогда справедливы по-
рядковые соотношения
S
n
C→C
= O(ln n);
x − S
n
x
C
= O{ln nE
n
(x)
C
},x∈ C[−1, 1].
В частности, если x ∈ W
r
H
α
,гдеr ≥ 0 –целое,0 <α≤ 1,то
x − S
n
x
C
= O
ln n
n
r+α
,r≥ 0, 0 <α≤ 1.
Пусть (L
n
x)(t)=L
n
(x; t) – интерполяционный многочлен Лагранжа для функ-
ции x ∈ C по некоторым узлам t
0
,t
1
,...,t
n
∈ [−1, 1] . Тогда справедливы (см., напр.,
[34, 39, 40]) следующие леммы.
Лемма 11. Если t
k
= t
k,n
(k = 0,n) – корни многочлена степени n +1 из си-
стемы многочленов, ортогональных с весом ρ(t) на [−1, 1] , то для любой x ∈ C
интерполяционные многочлены L
n
(x; t) сходятся к функции x(t) в пространстве
L
2,ρ
(−1, 1) со скоростью, определяемой неравенством
x − L
n
x
2,ρ
≤ 2
+1
−1
ρ(t) dt
1/2
E
n
(x)
C
.
Следствие 1. Операторы L
n
: C −→ L
2,ρ
ограничены по норме в совокупности:
L
n
C→L
2,ρ
≤
+1
−1
ρ(t) dt , n ∈ N.
Следствие 2. Для любой функции x ∈ C при n →∞
|R
n
(x)|≡
+1
−1
ρ(t)[x(t) − L
n
(x; t)] dt
→ 0
со скоростью, определяемой неравенством
|R
n
(x)|≤2 E
n
(x)
C
+1
−1
ρ(t) dt.
В случае выбора конкретных узлов лемма 11 уточняется и усиливается (см.,
напр., в [17, 9]). Приведем здесь лишь один результат для двух систем узлов:
12
   Следствие. Пусть функция x ∈ W r H2,ρ α
                                           , где r ≥ 0 – целое, 0 < α ≤ 1. Тогда ско-
рость сходимости отрезка ряда Фурье к самой функции характеризуется порядковым
соотношением
                    x − Sn xL2,ρ = O(n−r−α ), r ≥ 0, 0 < α ≤ 1.

   В случае, когда весовая функция ρ(t) является весом Чебышева первого или вто-
рого рода, имеет место также (см., напр., в [34, 15, 28, 9])
                                √                     √
   Лемма 10. Пусть ρ(t) = 1/ 1 − t2 или ρ(t) = 1 − t2 . Тогда справедливы по-
рядковые соотношения
                               Sn C→C = O(ln n);
                      x − Sn xC = O{ln n En (x)C }, x ∈ C[−1, 1].
В частности, если x ∈ W r Hα , где r ≥ 0 – целое, 0 < α ≤ 1, то
                                          ln n 
                       x − Sn xC = O            , r ≥ 0, 0 < α ≤ 1.
                                          nr+α

    Пусть (Ln x)(t) = Ln (x; t) – интерполяционный многочлен Лагранжа для функ-
ции x ∈ C по некоторым узлам t0 , t1 , . . . , tn ∈ [−1, 1] . Тогда справедливы (см., напр.,
[34, 39, 40]) следующие леммы.

    Лемма 11. Если tk = tk,n (k = 0, n) – корни многочлена степени n + 1 из си-
стемы многочленов, ортогональных с весом ρ(t) на [−1, 1] , то для любой x ∈ C
интерполяционные многочлены Ln (x; t) сходятся к функции x(t) в пространстве
L2,ρ (−1, 1) со скоростью, определяемой неравенством
                                              +1             1/2
                       x − Ln x2,ρ ≤ 2             ρ(t) dt          En (x)C .
                                                −1


   Следствие 1. Операторы Ln : C −→ L2,ρ ограничены по норме в совокупности:
                                               +1
                          Ln C→L2,ρ ≤              ρ(t) dt ,     n ∈ N.
                                             −1


   Следствие 2. Для любой функции x ∈ C при n → ∞
                              +1
                  |Rn (x)| ≡      ρ(t) [x(t) − Ln (x; t)] dt → 0
                                    −1

со скоростью, определяемой неравенством
                                                         +1
                             |Rn (x)| ≤ 2 En (x)C              ρ(t) dt.
                                                        −1


   В случае выбора конкретных узлов лемма 11 уточняется и усиливается (см.,
напр., в [17, 9]). Приведем здесь лишь один результат для двух систем узлов:



                                             12

Страницы