Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.2.2. Перейдем теперь к изложению аналогичных приведенным в пункте 1.2.1
результатов в непериодическом случае.
Обозначим через C ≡ C[−1, 1]
2)
пространство всех непрерывных на [−1, 1] функ-
ций с обычной нормой
x
C
≡x
C[−1,1]
=max
−1≤t≤1
|x(t)| = x
∞
,x∈ C[−1, 1].
Пусть ρ = ρ(t) ≥ 0 – фиксированная весовая функция на отрезке [−1, 1]. Обозначим
через L
2,ρ
≡ L
2,ρ
(−1, 1) пространство функций, квадратично суммируемых по Лебегу
в промежутке (−1, 1) с весом ρ(t). Норму в этом пространстве введем следующим
образом:
x
2,ρ
≡x
L
2,ρ
(−1,1)
=
+1
−1
ρ(t)|x(t)|
2
dt
1/2
,x∈ L
2,ρ
(−1, 1).
Пусть IH
n
есть множество всех алгебраических многочленов степени не выше n,
где n+1 ∈ N,аE
n
(x)
C
и E
n
(x)
2,ρ
наилучшее равномерное приближение функции x ∈
C и соответственно наилучшее среднеквадратическое приближение функции x ∈ L
2,ρ
всевозможными алгебраическими многочленами степени не выше n. Через W
r
H
α
и
W
r
H
α
2,ρ
(r ≥ 0 – целое, 0 <α≤ 1) будем обозначать классы функций, имеющих
производные порядка r из пространства соответственно C и L
2,ρ
, удовлетворяющие
условию Гельдера с показателем α.
Введем в рассмотрение оператор S
n
, который любой функции x ∈ L
2,ρ
ставит в
соответствие (n +1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по системе многочленов
{ϕ
k
(t)}, ортогональных с весом ρ(t) на отрезке [−1, 1]:
S
n
(x; t)=
n
k=0
c
k
(x) ϕ
k
(t), (1.13)
где c
k
(x)=
+1
−1
ρ(t)x(t)ϕ
k
(t) dt/
+1
−1
ρ(t)ϕ
2
k
(t) dt – коэффициенты Фурье функции x ∈
L
2,ρ
по системе {ϕ
k
(t)}.
Для оператора S
n
справедливы следующие результаты (см., напр., в [34, 39, 9]).
Лемма 9. При любом натуральном n
S
2
n
= S
n
, S
n
L
2,ρ
→L
2,ρ
=1, S
n
C→L
2,ρ
=
+1
−1
ρ(t) dt .
Если x ∈ L
2,ρ
, то отрезок ряда Фурье S
n
(x; t) сходится в среднем к функции x(t) со
скоростью
x −S
n
x
L
2,ρ
= E
n
(x)
2,ρ
;
если же x ∈ C,то
x − S
n
x
L
2,ρ
≤
+1
−1
ρ(t) dt
1/2
E
n
(x)
C
.
2)
Для определенности все результаты в непериодическом случае приведены для стандартного
промежутка [−1, 1]. В связи с этим отметим, что результаты без существенных изменений остаются
в силе и для любого конечного промежутка [a, b].
11
   1.2.2. Перейдем теперь к изложению аналогичных приведенным в пункте 1.2.1
результатов в непериодическом случае.
   Обозначим через C ≡ C[−1, 1] 2) пространство всех непрерывных на [−1, 1] функ-
ций с обычной нормой
                xC ≡ xC[−1,1] = max |x(t)| = x∞ ,                     x ∈ C[−1, 1].
                                           −1≤t≤1

Пусть ρ = ρ(t) ≥ 0 – фиксированная весовая функция на отрезке [−1, 1]. Обозначим
через L2,ρ ≡ L2,ρ (−1, 1) пространство функций, квадратично суммируемых по Лебегу
в промежутке (−1, 1) с весом ρ(t). Норму в этом пространстве введем следующим
образом:
                                       +1              1/2
             x2,ρ ≡ xL2,ρ (−1,1) =     ρ(t)|x(t)|2 dt     , x ∈ L2,ρ (−1, 1).
                                                −1

    Пусть IH n есть множество всех алгебраических многочленов степени не выше n,
где n + 1 ∈ N, а En (x)C и En (x)2,ρ наилучшее равномерное приближение функции x ∈
C и соответственно наилучшее среднеквадратическое приближение функции x ∈ L2,ρ
всевозможными алгебраическими многочленами степени не выше n. Через W r Hα и
W r H2,ρ
      α
         (r ≥ 0 – целое, 0 < α ≤ 1) будем обозначать классы функций, имеющих
производные порядка r из пространства соответственно C и L2,ρ , удовлетворяющие
условию Гельдера с показателем α.
   Введем в рассмотрение оператор Sn , который любой функции x ∈ L2,ρ ставит в
соответствие (n + 1)–ый отрезок ряда Фурье, построенный по системе многочленов
{ϕk (t)}, ортогональных с весом ρ(t) на отрезке [−1, 1]:
                                                     
                                                     n
                                      Sn (x; t) =          ck (x) ϕk (t),                         (1.13)
                                                     k=0
             +1                   +1
где ck (x) = −1 ρ(t)x(t)ϕk (t) dt/ −1 ρ(t)ϕ2k (t) dt – коэффициенты Фурье функции x ∈
L2,ρ по системе {ϕk (t)}.
   Для оператора Sn справедливы следующие результаты (см., напр., в [34, 39, 9]).

   Лемма 9. При любом натуральном n
                                                                                +1
                Sn2   = Sn ,     Sn L2,ρ →L2,ρ = 1, Sn C→L2,ρ =                   ρ(t) dt .
                                                                              −1

Если x ∈ L2,ρ , то отрезок ряда Фурье Sn (x; t) сходится в среднем к функции x(t) со
скоростью
                              x − Sn xL2,ρ = En (x)2,ρ ;
если же x ∈ C, то
                                                  +1       1/2
                               x − Sn xL2,ρ   ≤     ρ(t) dt     En (x)C .
                                                     −1

  2)
     Для определенности все результаты в непериодическом случае приведены для стандартного
промежутка [−1, 1]. В связи с этим отметим, что результаты без существенных изменений остаются
в силе и для любого конечного промежутка [a, b].


                                                     11

Страницы