Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Этот оператор любой функции x ∈ C
2π
ставит в соответствие тригонометрический
интерполяционный полином Лагранжа L
T
n
(x; s) , построенный по значениям функции
x(s) в узлах (1.8).
Известно, что для любой x ∈ C
2π
L
T
n
(x; s)=
2
2n +1
2n
k=0
x(s
k
)D
n
(s −s
k
). (1.9)
Оператор L
T
n
обладает следующими (см., напр., в [35, 20, 9, 40]) свойствами.
Лемма 5. Для любого натурального n справедливы соотношения:
L
T
n
2
= L
T
n
, L
T
n
L
2
→L
2
= ∞, L
T
n
C→L
2
=1,
L
T
n
C
2π
→C
2π
=
2
π
ln n + O(1) ≤
4
π
+
2
π
ln
2(2n +1)
π
.
Лемма 6. Для любой функции x(s) ∈ C
2π
интерполяционный полином L
T
n
(x; s)
сходится в среднем к самой функции со скоростью
x − L
T
n
x
2
≤ 2E
T
n
(x)
∞
.
Если же x(s) принадлежит классу Дини–Липшица, то интерполяционный процесс
по узлам (1.8) равномерно сходится со скоростью
x − L
T
n
x
∞
≤
1+
4
π
+
2
π
ln
2(2n +1)
π
E
T
n
(x)
∞
= O
ln n · E
T
n
(x)
∞
.
Следствие. Пусть функция x(s) ∈ W
r
H
α
,гдеr ≥ 0, 0 <α≤ 1. Тогда скорость
сходимости в пространствах L
2
и C
2π
характеризуется порядковыми соотношениями:
x − L
T
n
x
2
= O(n
−r−α
),r≥ 0, 0 <α≤ 1,
x − L
T
n
x
∞
= O
ln n
n
r+α
,r≥ 0, 0 <α≤ 1.
Обозначим через Π
n
линейный оператор, ставящий в соответствие каждой функ-
ции x(s) ∈ L
p
, 1 ≤ p ≤∞, полином T
n
(s) ∈ IH
T
n
, удовлетворяющий условиям
b
k
a
k
T
n
(s) ds =
b
k
a
k
x(s) ds, k = 0, 2n, (1.10)
где {(a
k
,b
k
)} — некоторая система взаимно–непересекающихся интервалов – "под-
областей", таких, что замыкание их объединения целиком содержится в сегменте
длины 2π.
Отметим, что для любой функции x(s) ∈ L
1
существует единственный полином
T
n
(s) ≡ Π
n
(x ; s), удовлетворяющий условиям (1.10), причем оператор Π
n
является
9
Этот оператор любой функции x ∈ C2π ставит в соответствие тригонометрический
интерполяционный полином Лагранжа LTn (x; s) , построенный по значениям функции
x(s) в узлах (1.8).
   Известно, что для любой x ∈ C2π

                                       2 
                                                        2n
                         Ln (x; s) =
                             T
                                                x(sk )Dn (s − sk ).              (1.9)
                                     2n + 1 k=0

   Оператор LTn обладает следующими (см., напр., в [35, 20, 9, 40]) свойствами.

   Лемма 5. Для любого натурального n справедливы соотношения:

                      LTn 2 = LTn ,      LTn L2 →L2 = ∞, LTn C→L2 = 1,

                                        2              4 2 2(2n + 1)
                  LTn C2π →C2π =        ln n + O(1) ≤ + ln         .
                                        π              π π     π

   Лемма 6. Для любой функции x(s) ∈ C2π интерполяционный полином LTn (x; s)
сходится в среднем к самой функции со скоростью

                                      x − LTn x2 ≤ 2EnT (x)∞ .

Если же x(s) принадлежит классу Дини–Липшица, то интерполяционный процесс
по узлам (1.8) равномерно сходится со скоростью
                          4 2 2(2n + 1)  T                       
        x − Ln x∞
              T
                      ≤ 1 + + ln          En (x)∞ = O ln n · En (x)∞ .
                                                              T

                           π π     π

   Следствие. Пусть функция x(s) ∈ W r Hα , где r ≥ 0, 0 < α ≤ 1. Тогда скорость
сходимости в пространствах L2 и C2π характеризуется порядковыми соотношениями:

                       x − LTn x2 = O(n−r−α ), r ≥ 0, 0 < α ≤ 1,
                                                  ln n 
                      x − LTn x∞ = O                    , r ≥ 0, 0 < α ≤ 1.
                                                  nr+α

   Обозначим через Πn линейный оператор, ставящий в соответствие каждой функ-
ции x(s) ∈ Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, полином Tn (s) ∈ IH Tn , удовлетворяющий условиям

                             bk                 bk
                                   Tn (s) ds =         x(s) ds,   k = 0, 2n,    (1.10)
                             ak                  ak


где {(ak , bk )} — некоторая система взаимно–непересекающихся интервалов – "под-
областей", таких, что замыкание их объединения целиком содержится в сегменте
длины 2π.
    Отметим, что для любой функции x(s) ∈ L1 существует единственный полином
Tn (s) ≡ Πn (x ; s), удовлетворяющий условиям (1.10), причем оператор Πn является

                                                        9

Страницы