Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
a
0
2
+
n
k=1
a
k
cos ks + b
k
sin ks =
1
π
2π
0
x(σ)D
n
(s − σ) dσ, (1.7)
где i
2
= −1,c
k
(x)=
1
2π
2π
0
x(σ)e
−ikσ
dσ есть комплексные коэффициенты Фурье функ-
ции x(s), D
n
(s)=
sin
(2n+1)s
2
2sin
s
2
– обычное ядро Дирихле n–го порядка, а a
0
=
1
2π
2π
0
x(σ) dσ,
a
k
=
1
π
2π
0
x(σ)coskσ dσ, b
k
=
1
π
2π
0
x(σ)sinkσ dσ – вещественные коэффициенты Фурье
функции x(s).
Имеют место следующие (см., напр., в [6, 34, 30, 15, 9]) результаты.
Лемма 3. Для любого натурального n справедливы соотношения
S
2
n
= S
n
, S
n
L
2
→L
2
=1, S
n
C→L
2
=1,
S
n
C
2π
→C
2π
=
4
π
2
ln n + O(1) ≤ 2+lnn.
Лемма 4. Для любой функции x(s) ∈ L
2
отрезок ряда Фурье S
n
(x; s) сходится
в среднем к самой функции со скоростью
x − S
n
x
2
= E
T
n
(x)
2
.
Если x(s) ∈ C
2π
, то скорость сходимости в пространстве L
2
можно охаракте-
ризовать неравенством
x − S
n
x
2
≤ E
T
n
(x)
∞
.
При дополнительном условии принадлежности x(s) к классу Дини–Липшица имеет
место равномерная сходимость с быстротой:
x − S
n
x
∞
≤ (3 + ln n)E
T
n
(x)
∞
.
Следствие. Пусть функция x(s) ∈ W
r
H
α
2
,гдеr ≥ 0, 0 <α≤ 1. Тогда скорость
сходимости в пространстве L
2
характеризуется порядковым соотношением
x − S
n
x
2
= O(n
−r−α
),r≥ 0, 0 <α≤ 1.
Если же x(s) ∈ W
r
H
α
,то
x − S
n
x
∞
= O
ln n
n
r+α
,r≥ 0, 0 <α≤ 1.
Пусть, далее, L
T
n
есть оператор Лагранжа тригонометрического интерполирова-
ния n–го порядка по узлам
1)
s
k
=
2kπ
2n +1
,k=
0, 2n, n ∈ N. (1.8)
1)
Мы рассматриваем лишь случай нечетного числа узлов; в случае четного числа узлов соот-
ветствующие результаты см., напр., в [9].
8
                                                                        2π
                         a0 
                                    n
                                                         1
                       =   +     ak cos ks + bk sin ks =                      x(σ)Dn (s − σ) dσ,                 (1.7)
                         2   k=1
                                                         π
                                                                        0

                               1
                                   2π
где i2 = −1, ck (x) =         2π
                                         x(σ)e−ikσ dσ есть комплексные коэффициенты Фурье функ-
                                   0
                          sin
                              (2n+1)s
                                                                                                    1
                                                                                                        2π
ции x(s), Dn (s) =                2
                             2 sin 2s
                                          – обычное ядро Дирихле n–го порядка, а a0 =              2π
                                                                                                              x(σ) dσ,
                                                                                                        0
       1
           2π                              1
                                                2π
ak =   π
                 x(σ) cos kσ dσ, bk =       π
                                                      x(σ) sin kσ dσ – вещественные коэффициенты Фурье
           0                                    0
функции x(s).
   Имеют место следующие (см., напр., в [6, 34, 30, 15, 9]) результаты.

   Лемма 3. Для любого натурального n справедливы соотношения

                                   Sn2 = Sn ,         Sn L2 →L2 = 1, Sn C→L2 = 1,
                                                          4
                                   Sn C2π →C2π =           ln n + O(1) ≤ 2 + ln n.
                                                          π2

   Лемма 4. Для любой функции x(s) ∈ L2 отрезок ряда Фурье Sn (x; s) сходится
в среднем к самой функции со скоростью

                                                    x − Sn x2 = EnT (x)2 .

   Если x(s) ∈ C2π , то скорость сходимости в пространстве L2 можно охаракте-
ризовать неравенством
                               x − Sn x2 ≤ EnT (x)∞ .
При дополнительном условии принадлежности x(s) к классу Дини–Липшица имеет
место равномерная сходимость с быстротой:

                                          x − Sn x∞ ≤ (3 + ln n)EnT (x)∞ .

   Следствие. Пусть функция x(s) ∈ W r H2α , где r ≥ 0, 0 < α ≤ 1. Тогда скорость
сходимости в пространстве L2 характеризуется порядковым соотношением

                                 x − Sn x2 = O(n−r−α ), r ≥ 0, 0 < α ≤ 1.

Если же x(s) ∈ W r Hα , то
                                                           ln n 
                                x − Sn x∞            = O r+α , r ≥ 0, 0 < α ≤ 1.
                                                           n

   Пусть, далее, LTn есть оператор Лагранжа тригонометрического интерполирова-
ния n–го порядка по узлам1)
                                                     2kπ
                                          sk =             ,   k = 0, 2n, n ∈ N.                                 (1.8)
                                                    2n + 1
  1)
     Мы рассматриваем лишь случай нечетного числа узлов; в случае четного числа узлов соот-
ветствующие результаты см., напр., в [9].


                                                               8

Страницы