Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

уравнения
Kx = y ( x ∈ X, y ∈ Y ), (1.1)
K
n
x
n
= y
n
( x
n
∈ X
n
,y
n
∈ Y
n
), (1.2)
где K и K
n
(n ∈ N) – линейные операторы из X в Y ииз X
n
в Y
n
соответственно
(всюду ниже этот факт кратко будем обозначать так: K : X −→ Y,K
n
: X
n
−→ Y
n
).
Для уравнений (1.1) и (1.2) имеют место следующие результаты (см., напр., в
[9, 12, 2]).
Лемма 1. Пусть выполнены условия:
а) оператор K : X −→ Y непрерывно обратим, т.е. существует ограниченный
обратный K
−1
: Y −→ X ;
б) ε
n
≡K − K
n
X
n
→Y
→ 0 ,n→∞;
в) dim X
n
=dimY
n
= m(n) < ∞ (n =1, 2,...) .
Тогда при всех n , удовлетворяющих неравенству
q
n
≡K
−1
K − K
n
< 1,K− K
n
: X
n
−→ Y,
приближенное уравнение (1.2) имеет единственное решение x
∗
n
∈ X
n
при любой
правой части y
n
∈ Y
n
, причем
x
∗
n
≤K
−1
n
y
n
, K
−1
n
≤K
−1
·(1 − q
n
)
−1
.
Если, кроме того, выполнено условие
г) δ
n
≡y − y
n
→0,n→∞,
то приближенные решения x
∗
n
сходятся к точному решению x
∗
∈ X по норме
пространства X . При этом погрешность приближенного решения может быть
оценена любым из неравенств
K
−1
α
n
≤x
∗
− x
∗
n
≤K
−1
α
n
,α
n
= (y − y
n
)+(K
n
− K)x
∗
n
, (1.3)
x
∗
− x
∗
n
≤
K
−1
1 − q
n
[y −y
n
+ q
n
y]=O (ε
n
+ δ
n
) . (1.4)
Лемма 2. Пусть P
n
: Y −→ Y
n
, уравнение (1.1) имеет решение x
∗
∈ X при
данной правой части y ∈ Y и оператор K
n
имеет ограниченный обратный. Тогда
погрешность приближенного решения x
∗
n
для правой части y
n
= P
n
y может быть
представлена в виде
x
∗
− x
∗
n
=(E − K
−1
n
P
n
K)(x
∗
− x
n
)+K
−1
n
(K
n
x
n
− P
n
Kx
n
), (1.5)
где x
n
∈ X
n
– произвольный элемент.
6
уравнения
                                Kx = y     ( x ∈ X, y ∈ Y ),                      (1.1)
                           Kn xn = yn      ( xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ),                 (1.2)
где K и Kn (n ∈ N) – линейные операторы из X в Y и из Xn в Yn соответственно
(всюду ниже этот факт кратко будем обозначать так: K : X −→ Y , Kn : Xn −→ Yn ).
    Для уравнений (1.1) и (1.2) имеют место следующие результаты (см., напр., в
[9, 12, 2]).

   Лемма 1. Пусть выполнены условия:
   а) оператор K : X −→ Y непрерывно обратим, т.е. существует ограниченный
обратный K −1 : Y −→ X ;


   б) εn ≡ K − Kn Xn →Y → 0 ,      n → ∞;

   в) dim Xn = dim Yn = m(n) < ∞ (n = 1, 2, . . .) .
   Тогда при всех n , удовлетворяющих неравенству

                 qn ≡ K −1  K − Kn  < 1,        K − Kn : Xn −→ Y ,

приближенное уравнение (1.2) имеет единственное решение x∗n ∈ Xn при любой
правой части yn ∈ Yn , причем

                 x∗n  ≤ Kn−1  yn ,    Kn−1  ≤ K −1  · (1 − qn )−1 .

   Если, кроме того, выполнено условие

  г) δn ≡ y − yn  → 0,    n → ∞,

то приближенные решения x∗n сходятся к точному решению x∗ ∈ X по норме
пространства X . При этом погрешность приближенного решения может быть
оценена любым из неравенств

         K−1 αn ≤ x∗ − x∗n  ≤ K −1  αn , αn = (y − yn ) + (Kn − K)x∗n ,   (1.3)

                                K −1 
                x∗ − x∗n  ≤           [y − yn  + qn y] = O (εn + δn ) .     (1.4)
                                1 − qn

   Лемма 2. Пусть Pn : Y −→ Yn , уравнение (1.1) имеет решение x∗ ∈ X при
данной правой части y ∈ Y и оператор Kn имеет ограниченный обратный. Тогда
погрешность приближенного решения x∗n для правой части yn = Pn y может быть
представлена в виде

             x∗ − x∗n = (E − Kn−1 Pn K) (x∗ − xn ) + Kn−1 (Kn xn − Pn Kxn ),      (1.5)

где xn ∈ Xn – произвольный элемент.


                                              6

Страницы