Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 5 стр.

                                   Введение

   В настоящее время для приближенного решения различных классов интеграль-
ных уравнений применяется большое число приближенных методов, основанных на
различных идеях (см., напр., в [8, 24, 20, 32]). Среди приближенных методов осо-
бое место занимают так называемые прямые методы. По определению С.Л.Соболева
(см., напр., в [32, 37]), прямыми методами называются такие приближенные методы,
которые сводят исходную задачу к конечной системе алгебраических уравнений. К
прямым методам относятся наиболее часто используемые на практике метод меха-
нических квадратур и все проекционные методы, в частности, методы Галеркина,
наименьших квадратов, подобластей и коллокации.
   Для суждения об эффективности и обоснованности применения этих методов
необходимо их теоретическое исследование, под которым понимают [22, 23, 9, 11]:
   1) установление осуществимости и сходимости алгоритма;
   2) исследование быстроты сходимости;
   3) получение эффективной оценки погрешности.
   Решение этих вопросов до появления общей теории приближенных методов Л.В.
Канторовича [21] (см. также [22]) проводилось для каждого класса уравнений и каж-
дого из методов своим путем и часто представляло значительную трудность.
   Следует отметить, что в последнее время к трем приведенным пунктам добавляют
еще две (см., напр., в [9, 10, 11]):
   4) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов;
   5) доказательство оптимальности исследуемого метода в том или ином смысле.
   В данном пособии для интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго
рода дается теоретическое обоснование известных методов Галеркина, наименьших
квадратов, подобластей, коллокации и механических квадратур, основанных на ап-
проксимации функций полиномами и сплайнами. При этом для каждого из мето-
дов мы в основном исследуем вопросы, касающиеся решения указанных выше задач
1)–3). В связи с этим заметим, что использованный здесь вариант общей теории
приближенных методов анализа, разработанный Б.Г. Габдулхаевым (см., напр., [9])
применительно к сингулярным уравнениям, позволяет во многих случаях решать и
задачу 4).

                      §1. Вспомогательные результаты

   В этом параграфе приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения
из функционального анализа и теории функций и приближений.
       1.1. Результаты из общей теории приближенных методов анализа
   Пусть X и Y – произвольные линейные нормированные пространства с нормами
соответственно  · X и  · Y , а Xn и Yn – произвольные последовательности их
конечномерных подпространств: Xn ⊂ X и Yn ⊂ Y (n = 1, 2, . . .) . Рассмотрим



                                       5