Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 1. Если K
n
совпадает с сужением оператора P
n
K на подпростран-
ство X
n
, то для погрешности верно представление
x
∗
− x
∗
n
=(E −K
−1
n
P
n
K)(x
∗
− x
n
), ∀x
n
∈ X
n
.
Следствие 2. Пусть K = E + H, K
n
= E + H
n
,где H и H
n
– линейные
операторы в нормированных пространствах X = Y и X
n
= Y
n
соответственно,
а E – единичный оператор.
Если H
n
−P
n
H непрерывен в X
n
,P
n
H непрерывен из пространства X −X
n
в
X
n
и P
2
n
= P
n
, то в условиях леммы 2 для погрешности справедлива оценка
x
∗
− x
∗
n
≤
1+K
−1
n
P
n
H
·x
∗
− P
n
x
∗
+ K
−1
n
H
n
− P
n
H·P
n
x
∗
;(1.6)
в частности, при H
n
= P
n
H
x
∗
− x
∗
n
≤
1+K
−1
n
P
n
H
·x
∗
− P
n
x
∗
.
1.2. Сведения из теории приближения функций тригонометрическими
полиномами и алгебраическими многочленами
1.2.1. Начнем с изложения известных результатов для периодического случая.
Пусть C
2π
≡ L
∞
(0, 2π) и L
p
= L
p
(0, 2π), 1 ≤ p<∞ – пространства соответственно
непрерывных и суммируемых по Лебегу со степенью p, 1 ≤ p<∞, 2π–периодических
функций с нормами
x
C
2π
=max
s
|x(s)|≡x
∞
,x∈ C
2π
;
x
p
≡x
L
p
=
1
2π
2π
0
|x(s)|
p
ds
1/p
,x∈ L
p
, 1 ≤ p<∞.
Пусть W
r
H
α
и W
r
H
α
p
(r ≥ 0 –целое, 1 ≤ p<∞, 0 <α≤ 1) – классы 2π–
периодических функций x(s), имеющих производную r–го порядка x
(r)
(s)(x
(0)
(s) ≡
x(s)), удовлетворяющую условию Гельдера с показателем α в пространстве C
2π
и L
p
соответственно.
Обозначим через IH
T
n
множество всех тригонометрических полиномов порядка не
выше n , а через E
T
n
(x)
p
, 1 ≤ p<∞, и E
T
n
(x) ≡ E
T
n
(x)
∞
– наилучшее приближение
функции x(s) ∈ L
p
полиномами из IH
T
n
по норме пространства L
p
, 1 ≤ p<∞, и соот-
ветственно наилучшее равномерное приближение функции x(s) ∈ C
2π
полиномами
из IH
T
n
.
Пусть S
n
есть оператор Фурье n–го порядка, построенный по тригонометрической
системе функций {sin ks,cos ks}, т.е. оператор, который любой 2π–периодической
функции x(s) ставит в соответствие (2n +1)–ый отрезок ряда Фурье S
n
(x; s).Как
хорошо известно, для него справедливы следующие представления:
(S
n
x)(s) ≡ S
n
(x; s)=
n
k=−n
c
k
(x) e
iks
=
7
  Следствие 1. Если Kn совпадает с сужением оператора Pn K на подпростран-
ство Xn , то для погрешности верно представление

                   x∗ − x∗n = (E − Kn−1 Pn K) (x∗ − xn ),              ∀ xn ∈ Xn .

   Следствие 2. Пусть K = E + H, Kn = E + Hn , где H и Hn – линейные
операторы в нормированных пространствах X = Y и Xn = Yn соответственно,
а E – единичный оператор.
  Если Hn − Pn H непрерывен в Xn , Pn H непрерывен из пространства X − Xn в
Xn и Pn2 = Pn , то в условиях леммы 2 для погрешности справедлива оценка
                                
 x∗ − x∗n  ≤ 1 + Kn−1  Pn H · x∗ − Pn x∗  + Kn−1  Hn − Pn H · Pn x∗  ; (1.6)

в частности, при Hn = Pn H
                                                   
                    x∗ − x∗n  ≤ 1 + Kn−1  Pn H · x∗ − Pn x∗ .


     1.2. Сведения из теории приближения функций тригонометрическими
                 полиномами и алгебраическими многочленами
   1.2.1. Начнем с изложения известных результатов для периодического случая.
   Пусть C2π ≡ L∞ (0, 2π) и Lp = Lp (0, 2π), 1 ≤ p < ∞ – пространства соответственно
непрерывных и суммируемых по Лебегу со степенью p, 1 ≤ p < ∞, 2π–периодических
функций с нормами

                              xC2π = max |x(s)| ≡ x∞ ,          x ∈ C2π ;
                                          s


                                     1 2π            1/p
              xp ≡ xLp        =         |x(s)|p ds      ,     x ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞.
                                     2π
                                          0

Пусть W Hα и W
          r         r
                      (r ≥ 0 –целое, 1 ≤ p < ∞, 0 < α ≤ 1) – классы 2π–
                        Hpα
периодических функций x(s), имеющих производную r–го порядка x(r) (s) (x(0) (s) ≡
x(s)), удовлетворяющую условию Гельдера с показателем α в пространстве C2π и Lp
соответственно.
   Обозначим через IH Tn множество всех тригонометрических полиномов порядка не
выше n , а через EnT (x)p , 1 ≤ p < ∞, и EnT (x) ≡ EnT (x)∞ – наилучшее приближение
функции x(s) ∈ Lp полиномами из IH Tn по норме пространства Lp , 1 ≤ p < ∞, и соот-
ветственно наилучшее равномерное приближение функции x(s) ∈ C2π полиномами
из IH Tn .
   Пусть Sn есть оператор Фурье n–го порядка, построенный по тригонометрической
системе функций {sin ks, cos ks}, т.е. оператор, который любой 2π–периодической
функции x(s) ставит в соответствие (2n + 1)–ый отрезок ряда Фурье Sn (x; s). Как
хорошо известно, для него справедливы следующие представления:
                                                        
                                                        n
                              (Sn x)(s) ≡ Sn (x; s) =           ck (x) eiks =
                                                        k=−n


                                                   7

Страницы