Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

линейным и проекционным. Если (a
k
,b
k
)=(s
k
,s
k+1
),k = 0, 2n,где0 ≤ s
0
<s
1
<
...<s
2n
<s
2n+1
≤ 2π, то для любой функции x(s) ∈ L
1
справедливо представление
Π
n
(x ; s)=
1
2 π
2 π
0
x (σ) dσ +
d
ds
L
T
n
(z ; s), (1.11)
где L
n
(z; s) — интерполяционный полином Лагранжа по узлам s
0
,s
1
,...s
2n
для функ-
ции
z(s)=
s
0
x(σ) dσ −
s
2π
2π
0
x(σ) dσ.
Для оператора Π
n
, построенного по узлам (1.8), имеют место следующие (см.,
напр., [17, 11, 12]) результаты.
Лемма 7. Справедливы следующие оценки:
S
n
C
2π
→C
2π
≤Π
n
C
2 π
→C
2 π
≤ (1 + π) L
T
n
C
2 π
→C
2 π
= O(ln n), n →∞;
Π
n
L
1
→L
1
= O(ln n), n →∞;
Π
n
L
p
→L
p
= O(1 ), 1 < p < ∞, n →∞;
в частности,
1 ≤Π
n
L
2
→L
2
≤ σ
n
≤
−1 +
π
2
4
,
где
σ
2
n
=max
−n≤k≤n
∞
|μ|=1
k
k + μ(2n +1)
2
≤
π
2
4
− 1. (1.12)
Лемма 8. Если функция x(s) удовлетворяет условию Дини–Липшица в L
1
,то
полиномы Π
n
(x ; s) сходятся к x(s) в среднем со скоростью
x − Π
n
x
1
= O(E
T
n
(x )
1
· ln n).
При x(s) ∈ L
p
, 1 <p<∞, полиномы Π
n
(x ; s) сходятся к x(s) в среднем с быст-
ротой
x − Π
n
x
p
= O(E
T
n
(x )
p
);
в частности, для любой функции x(s) ∈ L
2
справедливы двусторонние оценки
E
T
n
(x)
2
≤x − Π
n
x
2
≤
1 + σ
2
n
E
T
n
(x )
2
, n ∈ N,
где σ
n
определены в (1.12).
Если функция x(s) ∈ C
2π
удовлетворяет условию Дини–Липшица, то полиномы
Π
n
(x ; s) сходятся равномерно со скоростью
x − Π
n
x
∞
≤ (1 + Π
n
C
2 π
→C
2 π
) E
T
n
(x )
C
2 π
= O(E
T
n
(x )
∞
ln n).
10
линейным и проекционным. Если (ak , bk ) = (sk , sk+1 ), k = 0, 2n, где 0 ≤ s0 < s1 <
. . . < s2n < s2n+1 ≤ 2π, то для любой функции x(s) ∈ L1 справедливо представление

                                                2 π
                                       1                               d T
                          Πn (x ; s) =                 x (σ) d σ +       L (z ; s),              (1.11)
                                       2π                              ds n
                                                0

где Ln (z; s) — интерполяционный полином Лагранжа по узлам s0 , s1 , . . . s2n для функ-
ции
                                s            2π
                                            s
                          z(s) = x(σ) dσ −        x(σ) dσ.
                                           2π
                                      0                            0

   Для оператора Πn , построенного по узлам (1.8), имеют место следующие (см.,
напр., [17, 11, 12]) результаты.

      Лемма 7. Справедливы следующие оценки:

         Sn C2π →C2π ≤ Πn C2 π →C2 π ≤ (1 + π) LTn C2 π →C2 π = O(ln n), n → ∞;

                               Πn L1 →L1 = O(ln n),                  n → ∞;
                        Πn Lp →Lp = O(1 ),              1 < p < ∞, n → ∞;
в частности,
                                                                                 π2
                              1 ≤ Πn L2 →L2 ≤ σn ≤                   −1 +         ,
                                                                                 4
где
                                        
                                        ∞
                                                      k                  2       π2
                        σn2   = max                                          ≤      − 1.         (1.12)
                               −n≤k≤n           k + μ(2n + 1)                    4
                                        |μ|=1


   Лемма 8. Если функция x(s) удовлетворяет условию Дини–Липшица в L1 , то
полиномы Πn (x ; s) сходятся к x(s) в среднем со скоростью

                               x − Πn x 1 = O(EnT (x )1 · ln n).

   При x(s) ∈ Lp , 1 < p < ∞, полиномы Πn (x ; s) сходятся к x(s) в среднем с быст-
ротой
                             x − Πn x p = O(EnT (x )p );
в частности, для любой функции x(s) ∈ L2 справедливы двусторонние оценки

                   EnT (x)2 ≤ x − Πn x 2 ≤                 1 + σn2 EnT (x )2 ,        n ∈ N,

где σn определены в (1.12).
    Если функция x(s) ∈ C2π удовлетворяет условию Дини–Липшица, то полиномы
Πn (x ; s) сходятся равномерно со скоростью

             x − Πn x ∞ ≤ (1 + Πn C2 π →C2 π ) EnT (x )C2 π = O(EnT (x )∞ ln n).

                                                        10

Страницы