Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а) узлы Чебышева I–рода
t
k
= t
k,n
=cos
2k +1
2n +2
π, k =
0,n, n∈ N;(1.14)
б) экстремальные точки многочленов Чебышева I–рода T
n
(t)=cosn arccos t, −1 ≤
t ≤ 1,n∈ N:
t
k
= t
k,n
=cos
kπ
n
,k=
0,n, n∈ N. (1.15)
Лемма 12. Справедливы следующие соотношения:
L
n
C
∼
2
π
ln n, n →∞;
2
π
ln n ≤L
n
C
≤
4
π
+
2
π
ln
4(n +1)
π
,n∈ N;
L
n
C→L
2,ρ
=
√
π, ρ(t)=1/
√
1 − t
2
,n∈ N.
Если функция x ∈ C, то при любых n ∈ N справедливы оценки:
x − L
n
x
C
≤
1+
4
π
+
2
π
ln
4(n +1)
π
E
n
(f)
C
;
x − L
n
x
L
2,ρ
≤ 2
√
πE
n
(x)
C
,ρ(t)=
1
√
1 − t
2
.
Следствие. Пусть существует производная
d
r
f(cos θ)
dθ
r
≡ ψ
(r)
(θ),θ ∈ [0,π], и |ψ
(r)
(θ)|≤
M
r
= const, r ∈ N.Тогда
x − L
n
x
L
2,ρ
≤
π
√
πM
r
(n +1)
r
,ρ(t)=
1
√
1 − t
2
,r∈ N,n∈ N.
Обозначим, далее, через Π
n
линейный оператор, ставящий в соответствие функ-
ции x ∈ L
2,ρ
(−1, 1) многочлен Π
n
(x ; t) ∈ IH
n−1
, удовлетворяющий условиям
t
k
t
k−1
Π
n
(x ; t) dt =
t
k
t
k−1
x (t) dt, k = 1 , n,
где {t
k
= t
k,n
}
n
0
— некоторая система узлов из [−1, 1].
Для оператора Π
n
имеют место (см., напр., в [33, 17, 11]) результаты.
Лемма 13. Для любой функции x ∈ C в случае любого способа выбора n+1 узлов
t
0
,t
1
,...,t
n
∈ [−1, 1] справедлива оценка
x − Π
n
x
L
2 ,ρ
≤
√
π
2
+
π
2
(
√
π + L
n
C →L
2 ,ρ
−1
)
E
n−1
(x )
C
, n ∈ N,
где ρ(t)=
√
1 − t
2
,ρ
−1
(t)=1/
√
1 − t
2
,аL
n
– оператор Лагранжа по узлам t
0
,t
1
,...,t
n
.
13
   а) узлы Чебышева I–рода

                                            2k + 1
                         tk = tk,n = cos           π,           k = 0, n, n ∈ N;           (1.14)
                                            2n + 2

   б) экстремальные точки многочленов Чебышева I–рода Tn (t) = cos n arccos t, −1 ≤
t ≤ 1, n ∈ N:
                                       kπ
                       tk = tk,n = cos    , k = 0, n, n ∈ N.                  (1.15)
                                        n

   Лемма 12. Справедливы следующие соотношения:
                                                2
                                    Ln C ∼      ln n,         n → ∞;
                                                π
                       2                4  2 4(n + 1)
                         ln n ≤ Ln C ≤ + ln          , n ∈ N;
                       π                π π       π
                                     √           √
                       Ln C→L2,ρ = π, ρ(t) = 1/ 1 − t2 , n ∈ N.

   Если функция x ∈ C, то при любых n ∈ N справедливы оценки:

                                                4  2 4(n + 1)
                     x − Ln xC ≤         1+     + ln                      En (f )C ;
                                                π π     π
                                        √                                        1
                      x − Ln xL2,ρ ≤ 2 πEn (x)C ,                  ρ(t) = √          .
                                                                                1 − t2
                                                   (cos θ)       r
   Следствие. Пусть существует производная d fdθ     r     ≡ ψ (r) (θ), θ ∈ [0, π], и |ψ (r) (θ)| ≤
Mr = const, r ∈ N. Тогда
                                √
                               π πMr                1
              x − Ln xL2,ρ ≤          , ρ(t) = √         , r ∈ N, n ∈ N.
                               (n + 1)r
                                                   1 − t2

   Обозначим, далее, через Πn линейный оператор, ставящий в соответствие функ-
ции x ∈ L2,ρ (−1, 1) многочлен Πn (x ; t) ∈ IH n−1 , удовлетворяющий условиям

                           tk                      tk
                                 Πn (x ; t) dt =           x (t) dt,   k = 1 , n,
                          tk−1                     tk −1


где {tk = tk,n }n0 — некоторая система узлов из [−1, 1].
   Для оператора Πn имеют место (см., напр., в [33, 17, 11]) результаты.

      Лемма 13. Для любой функции x ∈ C в случае любого способа выбора n + 1 узлов
t0 , t1 , . . . , tn ∈ [−1, 1] справедлива оценка
                                      √π π √                      
                  x − Πn x L2 ,ρ ≤      + ( π + Ln C →L2 ,ρ−1 ) En−1 (x )C , n ∈ N,
                                       2   2
                   √                    √
где ρ(t) = 1 − t2 , ρ−1 (t) = 1/ 1 − t2 , а Ln – оператор Лагранжа по узлам t0 , t1 , . . . , tn .

                                                      13

Страницы