Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В промежутке [−1, 1] возьмем произвольную сетку из n +1,n∈ N, узлов
Δ
n
: −1=t
0
<t
1
<...<t
n
=1, (1.16)
удовлетворяющую естественному условию
Δ
n
≡ max
1≤k≤n
(t
k
− t
k−1
) → 0,n→∞.
Всюду ниже будем считать это условие выполненным. Кроме того, в некоторых слу-
чаях на сетку (1.16) мы будем накладывать более жесткое условие
Δ
n
min
1≤k≤n
(t
k
− t
k−1
) ≤ β<∞,n≥ 2, (1.17)
где β – абсолютная постоянная.
Известно, что при m =0и m =1сплайны S
m
n
(x; t) существуют и определяются
единственным образом. При этом сплайн S
m
n
(x; t) единственным образом [3, 18, 38, 31]
представ´им в виде
S
m
n
(x; t)=
n
i=0
m
x(t
i
)s
m
n,i
(t), 0
0
=1,m=0, 1, (1.18)
где S
m
n,i
(t) – фундаментальные сплайны степени m на сетке (1.16).
Фундаментальные сплайны нулевой и первой степени имеют достаточно простой
вид:
s
0
n,1
(t)=
⎧
⎨
⎩
1,a≤ t ≤ t
1
,
0,t
1
<t≤ b,
s
0
n,i
(t)=
⎧
⎨
⎩
1,t
i−1
<t≤ t
i
,
0,t/∈ (t
i−1
,t
i
]
(i =
2,n);
s
1
n,0
(t)=
⎧
⎨
⎩
t
1
−t
t
1
−t
0
,t
0
≤ t ≤ t
1
,
0,t≥ t
1
,
s
1
n,n
(t)=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
0,t≤ t
n−1
,
t−t
n−1
t
n
−t
n−1
,t
n−1
≤ t ≤ t
n
,
s
1
n,i
(t)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
t−t
i−1
t
i
−t
i−1
,t
i−1
≤ t ≤ t
i
,
t
i+1
−t
t
i+1
−t
i
,t
i
≤ t ≤ t
i+1
, (i = 1,n− 1).
0,t/∈ [t
i−1
,t
i+1
]
Обозначим, далее, через Z пространство M[−1, 1] ограниченных на [−1, 1] функ-
ций, если m =0, или C[−1, 1], если m ≥ 1, и пусть S
m
n
: C −→ Z – оператор, который
любой непрерывной функции x(t) ставит в соответствие ее интерполяционный сплайн
m-той степени S
m
n
(x; t). Для произвольной функции x ∈ C ее наилучшее равномерное
приближение сплайнами степени m дефекта 1 на сетке Δ
n
будем обозначать через
E
m
n
(x).
Справедливы следующие (см., напр., [18, 9, 12, 1]) результаты.
15
   В промежутке [−1, 1] возьмем произвольную сетку из n + 1, n ∈ N, узлов

                                    Δn : −1 = t0 < t1 < . . . < tn = 1,                                    (1.16)

удовлетворяющую естественному условию

                              Δn  ≡ max (tk − tk−1 ) → 0,                  n → ∞.
                                           1≤k≤n

Всюду ниже будем считать это условие выполненным. Кроме того, в некоторых слу-
чаях на сетку (1.16) мы будем накладывать более жесткое условие
                           
                      Δn  min (tk − tk−1 ) ≤ β < ∞, n ≥ 2,            (1.17)
                                        1≤k≤n

где β – абсолютная постоянная.
   Известно, что при m = 0 и m = 1 сплайны Snm (x; t) существуют и определяются
единственным образом. При этом сплайн Snm (x; t) единственным образом [3, 18, 38, 31]
представи́м в виде
                                            
                                            n
                          Snm (x; t)   =          x(ti )sm
                                                         n,i (t),   00 = 1, m = 0, 1,                      (1.18)
                                           i=0m

где Sn,i
     m
         (t) – фундаментальные сплайны степени m на сетке (1.16).
   Фундаментальные сплайны нулевой и первой степени имеют достаточно простой
вид:
                 ⎧                            ⎧
                 ⎨ 1, a ≤ t ≤ t1 ,            ⎨ 1, ti−1 < t ≤ ti ,
       0                            0
      sn,1 (t) =                   sn,i (t) =                       (i = 2, n);
                 ⎩                            ⎩
                   0, t1 < t ≤ b,               0, t ∈
                                                     / (ti−1 , ti ]
                                                                        ⎧
                     ⎧                                                  ⎪ 0,     t ≤ tn−1 ,
                     ⎨
                          t1 −t
                                ,   t0 ≤ t ≤ t1 ,                       ⎪
                                                                        ⎨
                         t1 −t0
       s1n,0 (t) =                                        s1n,n (t) =
                     ⎩                                                  ⎪
                                                                        ⎪
                                                                             t−tn−1
                                                                            tn −tn−1
                                                                                     ,   tn−1 ≤ t ≤ tn ,
                         0,    t ≥ t1 ,                                 ⎩
                                    ⎧
                                    ⎪
                                    ⎪
                                           t−ti−1
                                                   ,   ti−1 ≤ t ≤ ti ,
                                    ⎪
                                    ⎪     ti −ti−1
                                    ⎪
                                    ⎨
                                       ti+1 −t
                     s1n,i (t) =               , ti ≤ t ≤ ti+1 , (i = 1, n − 1).
                                    ⎪
                                    ⎪
                                      ti+1 −ti
                                    ⎪
                                    ⎪
                                    ⎪
                                    ⎩ 0, t ∈   / [ti−1 , ti+1 ]

    Обозначим, далее, через Z пространство M [−1, 1] ограниченных на [−1, 1] функ-
ций, если m = 0, или C[−1, 1], если m ≥ 1, и пусть Snm : C −→ Z – оператор, который
любой непрерывной функции x(t) ставит в соответствие ее интерполяционный сплайн
m-той степени Snm (x; t). Для произвольной функции x ∈ C ее наилучшее равномерное
приближение сплайнами степени m дефекта 1 на сетке Δn будем обозначать через
Enm (x).
   Справедливы следующие (см., напр., [18, 9, 12, 1]) результаты.

                                                          15

Страницы