Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при любой правой части из L
2
.
Тогда СЛАУ (2.3)–(2.4) также имеет единственное решение {c
∗
k
} хотя бы при
всех n, начиная с некоторого натурального n
0
. Приближенные решения x
∗
n
(s),по-
строенные по формуле (2.2) при c
k
= c
∗
k
,k= −n, n, сходятся к точному решению
x
∗
(s) уравнения (2.1) в среднем со скоростью
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(x
∗
)
2
}, (2.5)
где E
T
n
(z)
2
– наилучшее среднеквадратическое приближение элемента z ∈ L
2
три-
гонометрическими полиномами порядка не выше n.
Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L
2
имеет
место соотношение
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
2
+ E
T
n
(Hx
∗
)
2
};
в частности, если h(s, σ) ∈ L
2
([0, 2π]
2
),то
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O{E
T
n
(y)
2
+ E
T
n
s
(h)
2
},
где E
T
n
s
(h)
2
– частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции h(s, σ)
по переменной s тригонометрическими полиномами порядка не выше n.
Следствие 2. Если функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2
,гдеr ≥ 0 –
целое, 0 <γ≤ 1, то в условиях теоремы для погрешности приближенных решений
верна порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1. (2.5
)
Доказательство. Введем в рассмотрение пространство X = Y = L
2
снормой
x
2
≡x
L
2
=
1
2π
2π
0
|x(s)|
2
ds , x ∈ L
2
.
В этом пространстве уравнение (2.1) запишем в операторной форме
Kx ≡ x + Hx = y (x, y ∈ X), (2.6)
где оператор H задается соотношением
(Hx)(s) ≡ (Hhx)(s)=
1
2π
2π
0
h(s, σ)x(σ) dσ.
Поскольку по условию оператор H : X −→ X вполне непрерывен, то уравнение
(2.6) является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором. Для
него, как хорошо известно, справедлива теория Фредгольма (см., напр., [22, 23]),
из которой, с учетом условия 3) теоремы, вытекает существование в пространстве X
ограниченного обратного K
−1
.
18
   3) уравнение (2.1) имеет единственное решение при любой правой части из L2 .
    Тогда СЛАУ (2.3)–(2.4) также имеет единственное решение {c∗k } хотя бы при
всех n, начиная с некоторого натурального n0 . Приближенные решения x∗n (s), по-
строенные по формуле (2.2) при ck = c∗k , k = −n, n, сходятся к точному решению
x∗ (s) уравнения (2.1) в среднем со скоростью

                                x∗ − x∗n L = O{EnT (x∗ )2 },                (2.5)
                                            2


где EnT (z)2 – наилучшее среднеквадратическое приближение элемента z ∈ L2 три-
гонометрическими полиномами порядка не выше n.

   Следствие 1. Для погрешности приближенных решений в пространстве L2 имеет
место соотношение
                     x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)2 + EnT (Hx∗ )2 };
в частности, если h(s, σ) ∈ L2 ([0, 2π]2 ), то

                           x∗ − x∗n L2 = O{EnT (y)2 + EnT s (h)2 },

где EnT s (h)2 – частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции h(s, σ)
по переменной s тригонометрическими полиномами порядка не выше n.

   Следствие 2. Если функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r H2γ , где r ≥ 0 –
целое, 0 < γ ≤ 1, то в условиях теоремы для погрешности приближенных решений
верна порядковая оценка

                        x∗ − x∗n L2 = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.          (2.5 )

   Доказательство. Введем в рассмотрение пространство X = Y = L2 с нормой
                                 
                                  2π
                                 
                                 1
                  x2 ≡ xL2 =       |x(s)|2 ds , x ∈ L2 .
                                   2π
                                                 0


В этом пространстве уравнение (2.1) запишем в операторной форме

                              Kx ≡ x + Hx = y        (x, y ∈ X),              (2.6)

где оператор H задается соотношением

                                                     2π
                                             1
                       (Hx)(s) ≡ (Hhx)(s) =                h(s, σ)x(σ) dσ.
                                            2π
                                                     0

Поскольку по условию оператор H : X −→ X вполне непрерывен, то уравнение
(2.6) является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором. Для
него, как хорошо известно, справедлива теория Фредгольма (см., напр., [22, 23]),
из которой, с учетом условия 3) теоремы, вытекает существование в пространстве X
ограниченного обратного K −1 .


                                                18

Страницы