Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=max
0≤j≤2n
1
2π
2π
0
h(s
j
,σ)x
n
(σ) dσ −
1
2n +1
2n
k=0
h(s
j
,s
k
)x
n
(s
k
)
=
=max
0≤j≤2n
1
2π
2π
0
h(s
j
,σ)x
n
(σ) dσ −
1
2π
2π
0
P
σ
n
(h(s
j
,σ)x
n
(σ)) dσ
=
=max
0≤j≤2n
1
2π
2π
0
[h(s
j
,σ) − P
σ
n
h(s
j
,σ)]x
n
(σ) dσ
≤
≤
1
2π
2π
0
[h(s, σ) − P
σ
n
h(s, σ)]x
n
(σ) dσ
∞
≤
≤h − P
σ
n
h
∞,2
·x
n
2
= h − P
σ
n
h
∞,2
·P
n
x
n
2
≤
≤ 2E
T
n
σ
(h)
∞
P
n
C
2π
→L
2
· max
0≤k≤2n
|x
n
(s
k
)| =2E
T
n
σ
(h)
∞
·c.
Таким образом, получили
ε
n
≡A
n
− B
n
≤2E
T
n
σ
(h)
∞
→ 0,n→∞.
Поэтому из леммы 1 следует, что если СЛАУ (2.39) метода коллокации однозначно
разрешима (хотя бы при достаточно больших n), СЛАУ (2.29) метода механических
квадратур будет также однозначно разрешимой при всех натуральных n, начиная
с некоторого. При этом сходимость приближенных решений, полученных методом
механических квадратур, может быть установлена через уже оцененную выше по-
грешность соответствующих приближенных решений для метода коллокации.
§3. Прямые методы решения интегральных
уравнений Фредгольма. Непериодический случай
В этом параграфе будем изучать вопросы обоснования полиномиальных прямых
методов решения непериодических интегральных уравнений Фредгольма второго ро-
да. Для определенности рассмотрим интегральное уравнение на стандартном проме-
жутке [−1, +1]:
Kx ≡ x(t)+
+1
−1
h(t, s)x(s) ds = y(t), −1 ≤ t ≤ 1, (3.1)
где h(t, s) и y(t) – известные, а x(t) – искомая функции.
3.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (3.1) будем искать в
виде алгебраического многочлена степени n, n ∈ N,
x
n
(t)=
n
k=0
c
k
t
k
, (3.2)
36
                          2π
                                                       1 
                                                                       2n
                     1
            = max               h(sj , σ)xn (σ) dσ −            h(sj , sk )xn (sk ) =
             0≤j≤2n 2π                               2n + 1 k=0
                          0

                         2π                                  2π
                    1                                1
           = max               h(sj , σ)xn (σ) dσ −                  Pnσ (h(sj , σ)xn (σ)) dσ =
            0≤j≤2n 2π                               2π
                          0                                   0

                                     2π
                            1
                   = max                [h(sj , σ) − Pnσ h(sj , σ)]xn (σ) dσ ≤
                    0≤j≤2n 2π
                                     0

                        1 2π                                 
                                                              
                      ≤      [h(s, σ) − Pnσ h(s, σ)]xn (σ) dσ  ≤
                         2π                                     ∞
                                 0

                 ≤ h −   Pnσ h∞,2      · xn 2 = h − Pnσ h∞,2 · Pn xn 2 ≤
              ≤ 2EnT σ (h)∞ Pn C2π →L2 · max |xn (sk )| = 2EnT σ (h)∞ · c.
                                               0≤k≤2n

   Таким образом, получили

                      εn ≡ An − B n  ≤ 2EnT σ (h)∞ → 0, n → ∞.

Поэтому из леммы 1 следует, что если СЛАУ (2.39) метода коллокации однозначно
разрешима (хотя бы при достаточно больших n), СЛАУ (2.29) метода механических
квадратур будет также однозначно разрешимой при всех натуральных n, начиная
с некоторого. При этом сходимость приближенных решений, полученных методом
механических квадратур, может быть установлена через уже оцененную выше по-
грешность соответствующих приближенных решений для метода коллокации.
                §3. Прямые методы решения интегральных
             уравнений Фредгольма. Непериодический случай

    В этом параграфе будем изучать вопросы обоснования полиномиальных прямых
методов решения непериодических интегральных уравнений Фредгольма второго ро-
да. Для определенности рассмотрим интегральное уравнение на стандартном проме-
жутке [−1, +1]:

                              +1
                   Kx ≡ x(t) + h(t, s)x(s) ds = y(t), −1 ≤ t ≤ 1,                                 (3.1)
                                     −1


где h(t, s) и y(t) – известные, а x(t) – искомая функции.

   3.1. Метод Галеркина. Приближенное решение уравнения (3.1) будем искать в
виде алгебраического многочлена степени n, n ∈ N,
                                                     
                                                     n
                                          xn (t) =         ck tk ,                                (3.2)
                                                     k=0




                                                  36

Страницы