Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2. Если функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2,ρ
,гдеr ≥ 0
–целое,а0 <γ≤ 1, то, в условиях теоремы 3.1, для погрешности приближенных
решений верна оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 1, 0 <γ≤ 1. (3.5”)
Доказательство. Пусть для определенности ρ(t)=1/
√
1 − t
2
. Введем в рассмот-
рение пространство X = Y = L
2,ρ
снормой
x
2,ρ
≡x
L
2,ρ
=
+1
−1
ρ(t)|x(t)|
2
dt , x ∈ L
2,ρ
(−1, 1).
В этом пространстве уравнение (3.1) запишем в операторной форме
Kx ≡ x + Hx = y (x, y ∈ X), (3.6)
где оператор H задается соотношением
(Hx)(t)=
+1
−1
h(t, s)x(s) ds.
Поскольку по условию 3) оператор H : X −→ X вполне непрерывен, то уравнение
(3.6) является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором и для
него справедлива теория Фредгольма. С учетом условия 4) теоремы, из этой теории
следует существование в пространстве X ограниченного обратного K
−1
. Запишем
теперь систему (3.3)–(3.4) в операторной форме. Для этого в пространстве X введем
подпространства X
n
= Y
n
= IH
n
,n ∈ N.ПустьS
n
есть оператор Фурье, который
любой функции z ∈ X ставит в соответствие (n +1)–ый отрезок ряда Фурье по
системе многочленов Чебышева первого рода T
k
(t)=cosn arccost, k = 0,n:
S
n
(z; t)=
c
0
(z)
2
+
n
k=1
c
k
(z)T
k
(t),z∈ X,
где c
k
(z)=
2
π
+1
−1
ρ(s)x(s)T
k
(s) ds – коэффициенты Фурье–Чебышева функции z(t).
Ясно, что СЛАУ (3.3)–(3.4) эквивалентна заданному в подпространстве X
n
опе-
раторному уравнению
K
n
x
n
≡ x
n
+ P
n
Hx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
), (3.7)
где P
n
= S
n
.
Таким образом, нам достаточно доказать однозначную разрешимость уравнения
(3.7). С этой целью возьмем произвольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность
Kx
n
− K
n
x
n
. Обозначив через z
n
= x
n
/x
n
(x
n
=0), имеем
Kx
n
− K
n
x
n
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
= x
n
·Hz
n
− P
n
Hz
n
≤
38
   Следствие 2. Если функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r H2,ργ
                                                                      , где r ≥ 0
– целое, а 0 < γ ≤ 1, то, в условиях теоремы 3.1, для погрешности приближенных
решений верна оценка

                             x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 1, 0 < γ ≤ 1.       (3.5”)

                                                          √
   Доказательство. Пусть для определенности ρ(t) = 1/ 1 − t2 . Введем в рассмот-
рение пространство X = Y = L2,ρ с нормой
                                  
                                  +1
                                  
                                  
               x2,ρ ≡ xL2,ρ =  ρ(t)|x(t)|2 dt , x ∈ L2,ρ (−1, 1).
                                              −1


В этом пространстве уравнение (3.1) запишем в операторной форме

                                   Kx ≡ x + Hx = y          (x, y ∈ X),            (3.6)

где оператор H задается соотношением
                                               +1
                                      (Hx)(t) = h(t, s)x(s) ds.
                                                   −1

Поскольку по условию 3) оператор H : X −→ X вполне непрерывен, то уравнение
(3.6) является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором и для
него справедлива теория Фредгольма. С учетом условия 4) теоремы, из этой теории
следует существование в пространстве X ограниченного обратного K −1 . Запишем
теперь систему (3.3)–(3.4) в операторной форме. Для этого в пространстве X введем
подпространства Xn = Yn = IH n , n ∈ N. Пусть Sn есть оператор Фурье, который
любой функции z ∈ X ставит в соответствие (n + 1)–ый отрезок ряда Фурье по
системе многочленов Чебышева первого рода Tk (t) = cos n arccost, k = 0, n:

                                           c0 (z) 
                                                        n
                               Sn (z; t) =       +     ck (z)Tk (t), z ∈ X,
                                             2     k=1


               2
                   
                   +1
где ck (z) =   π
                        ρ(s)x(s)Tk (s) ds – коэффициенты Фурье–Чебышева функции z(t).
                   −1

   Ясно, что СЛАУ (3.3)–(3.4) эквивалентна заданному в подпространстве Xn опе-
раторному уравнению

                              Kn xn ≡ xn + Pn Hxn = Pn y        (xn ∈ Xn ),        (3.7)

где Pn = Sn .
    Таким образом, нам достаточно доказать однозначную разрешимость уравнения
(3.7). С этой целью возьмем произвольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность
Kxn − Kn xn . Обозначив через zn = xn /xn  (xn = 0), имеем

               Kxn − Kn xn X = Hxn − Pn Hxn  = xn  · Hzn − Pn Hzn  ≤

                                                    38

Страницы